如果有高度的水柱时长时长h从地面开始,重力势能应该是埃=米克小时/ 2埃=米克时长/2E=mgh/2,因为重心高度为小时/ 2时长/2h/2。现在我不太明白的是,如果我想找到水从水柱底部(在地面)流出的速度,假设能量没有损失,当使用毫克h =12米五2米克时长=12米五2mgh=\frac{1}{2}mv^2高度应该怎么算?还是到重心的高度还是总高度时长时长h? 我在网上看到过类似的问题,其中以总高度作为势能来解决。这让我很困惑,因为当单独找到水柱的 PE 时,小时/ 2时长/2h/2必须采取。
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最佳答案
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你是对的,如果你考虑的是整个列的 GPE,那么你应该采取时长2时长2\frac h2因为这是水的平均高度。
但是,如果考虑到流出的水,流出的水相当于顶层下降,中间部分得到补充,并且所有部分基本上都通过取消而从计算中消失。因此,相关的 GPE 高度是全高。
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你能详细解释一下吗?我不太明白事物是如何抵消的。
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如果液柱的密度ρρ\rho、横截面积一个一个A和身高时长时长h那么它的质量是m = ρ A h米=ρ一个时长m = \rho A h其市盈率为
磷埃=毫克时长2= ρ A g(时长22)磷埃=米克时长2=ρ一个克(时长22)\displaystyle PE = \frac {mgh} 2 = \rho A g \left( \frac {h^2} 2 \right)
如果柱子的初始高度是时长0时长0h_0其最终高度为时长1时长1h_1那么除去的液体的质量是
Δm = ρA (时长0−时长1)Δ米=ρ一个(时长0−时长1)\Delta m = \rho A (h_0 – h_1)
并且该柱的 PE 变化为
磷埃= ρ A g(时长20−时长212) =ρAg((时长0−时长1)(时长0+时长1)2) =(Δ米)克(时长0+时长12)Δ磷埃=ρ一个克(时长02−时长122)=ρ一个克((时长0−时长1)(时长0+时长1)2)=(Δ米)克(时长0+时长12)\displaystyle \Delta PE = \rho A g \left( \frac {h_0^2-h_1^2} 2\right) = \rho A g \left( \frac {(h_0-h_1)(h_0+h_1)} 2\right) = (\Delta m) g \left( \frac {h_0+h_1} 2 \right)
注意时长0+时长12时长0+时长12\frac {h_0+h_1} 2是柱子的初始高度和最终高度的平均值。
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假设一个圆柱体充满水,高 100 米,横截面积为 2米2米2m^2所以水的体积是200米3200米3200 m^3质量为200吨。水柱的初始势能为:
mgh/2 = 200\times g\times 100/2 = 10000 g.如果我们将水位降低一米,水柱的总质量就会减少 2 吨,此时的势能为
mgh/2 = 198\times g\times 99/2 = 9801 g。势能的变化是磷埃+ 199Δ磷埃+199\Delta PE + 199g.
然而,还有另一种看待这个问题的方式。2米3米3m^3圆柱体顶部缺失的水现在实际上位于圆柱体底部。我们只能考虑这团水的势能变化。水团的初始势能为
mgh = 2\times g\times 99.5 = 199 g,其中 99.5 是水团重心的高度。水团的最终势能为
mgh = 2\times g\times 0 = 0 g,所以粒子的势能变化是磷埃= 199克。Δ磷埃=199克。\Delta PE = 199g.
这与我们考虑整个水柱的平均高度时得到的结果相同。
因此,看似矛盾的方法只是看待同一事物的两种不同方式,但都得出相同的结果。用于表示水团势能的高度 99.5 也是其上部高度(100)和下部高度(99)的平均值。
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想象一下当水从底部流出时柱子的重心位置会发生什么变化。
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它只是从 h/2 位置移动到 h=0 的地面水平,对吗?
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因为d(十2)/天x = 2 xd(十2)/d十=2十d(x^2)/dx = 2x不仅十十x。
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随着高度下降,水的速度(和动能)也会下降。你考虑过这个因素吗?
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