这是我在回答关于在 Mathematica 中对弹奏中央 C 音的钢琴进行功能建模的

我认为该音符由基频
f0 ~ 440 * 2^(-9/12) Hz 和一系列为基频整数倍（或 1 的整数倍）的谐波泛音/低音组成。

事实上，如果我们绘制离散傅里叶变换的绝对值（这是音符发作附近的短时间间隔），我们会看到主频率位于基频的整数倍上：

然而，当我们转向更高的泛音时，峰值开始偏离f0的整数倍。我的问题是，是什么导致了这种偏差？难道它不应该只是钢琴弦上振动的基频的整数倍吗？这是钢琴的预期行为吗？


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这种现象称为不谐性，即谐波偏离预期的整数倍。这是理想数学与现实世界之间差异的一个例子。维基百科有一个很好的描述，直接与钢琴不谐性有关：

音乐的和谐与音调很大程度上取决于音调的和谐性。一根理想的、均匀的、无限细或无限柔韧的弦或空气柱具有精确的谐波振动模式。1任何真实的乐器中，产生音乐音调的共振体（通常是弦、金属线或空气柱）都会偏离这一理想状态，并具有或多或少的不和谐性。例如，一根非常粗的弦的表现不像一根理想的弦，而更像一个圆柱体（一个质量管），它的自然共振不是基频的整数倍。（）

的部分，讨论了琴弦的粗细是影响乐器不和谐性的主要因素。

“表达了不谐和性感知拉伸钢琴调音与理论上正确的平均律调音之间的差异，在平均律调音中，连续音符的频率以一个恒定的比率相关，等于 2 的十二次方根。”拉伸调音是一种将钢琴上的高弦和低音弦分别调整得略微尖锐和略微平坦的技术，以解释它们的不谐和性。

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    我相信（根据记忆），除了谐波本身的相对振幅之外，谐波的不精确性对特定乐器的音色有很大的影响。


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