Question

这最初是由一个假设性问题引发的：

有两种情况。第一种情况是，无数人原本生活在极乐的天堂，但每天都会随机选出一个人，送往永恒的折磨地狱，永远没有回头的机会。第二种情况是，无数人原本生活在地狱，但每天都会随机选出一个人，送往永恒的天堂，永远没有回头的机会。

我的朋友说他们会选择天堂，因为被选中的几率（或者说任何人被选中的几率）为零，因此他们会永远留在天堂。他们说，从无限集合中随机选择一个事物在数学上是不可能的。

但是，这和问题的前提相矛盾。每天结束时肯定都会选出一个人，对吧？这个问题的前提不成立吗？

如果这个问题确实有效，那么有什么方法可以证明天堂中无限人口中的任何一个人在被送入地狱之前都有有限的时间吗？

您基本上是在问“人们能否在无限的物体集合中选择（拿取、选择、触摸、指向）一个物体”…？这就是您要问的吗？ —

Answer 1

这个结果非常基本，值得拥有自己的名字，但我不知道是否有人愿意给它起一个名字：可数无限集上没有均匀的概率分布。

也就是说，我们习惯了有限集的一个基本事实，即存在一个尽可能“公平”或“无偏”的概率分布：均匀分布，其中对于一个集合， ${1, 2, \dots n}$ \{ 1, 2, \dots n \}大小 $n$ n，我们以相同的概率选择每个元素 $p_{i} = \frac{1}{n}$ p_i = \frac{1}{n}。在可数无限集上根本无法做到这一点！原因很容易理解：你必须以某种方式分配相同的概率 $p$ p对于可数无限集的每个成员，说 ${1, 2, \dots}$ \{ 1, 2, \dots \}，并且它不能为零（因为这样概率就会加起来 $0$ 0）也不能为正（因为这样概率就会加起来 $\infty$ \infty）。

因此，不存在随机地均匀选择可数无限集的随机元素。例如，不存在选择随机整数或随机自然数等。这意味着可数无限集上的每个概率分布必然是“不公平”或“有偏见”的：某些元素必须比其他元素更可能出现，以便所有概率之和等于 $1$ 1。

自然数上的概率分布的一个简单例子 ${1, 2, \dots}$ \{ 1, 2, \dots \}是 $p_{i} = \frac{1}{2^{i}}$ p_i = \frac{1}{2^i}; 在你的假设中，你可以想象天堂里有无数人，按照他们的罪恶程度排列，每天 $i^{t h}$ i^{th}罪孽最深的人被送入地狱的概率 $\frac{1}{2^{i}}$ \frac{1}{2^i}。在这种情况下，是的，你可以证明概率 $1$ 1每个人在有限天后都会下地狱。你可以用 $p_{i}$ p_i任意正实数，使得 $\sum p_{i} = 1$ \sum p_i = 1这仍然是正确的；重要的是，在这种情况下，你每天下地狱的概率 1) 非零，且 2) 不会减少。

这种设定使得天堂到地狱和地狱到天堂场景之间的比较变得有趣，因为哪一个看起来比另一个更好似乎取决于你是从个人角度还是从整个群体角度来看，这两者之间存在巨大差异。在天堂到地狱的场景中，任何个人只能在天堂度过有限的几天，然后永远在地狱度过。但整个群体中 100% 的人会一直待在天堂，而只有 0% 的人在任何一天都会在地狱！而地狱到天堂的场景则相反。这很戏剧化。听起来像博尔赫斯的短篇小说。

然而，如果有无数个人，情况就会发生变化…… — 
@Qiaochy Yuan 虽然有人想知道为什么会有这么多人 🙂 — 
本着同样的精神， ${1, 2, \dots}$ \{1,2,\ldots\}分配 $\frac{1}{n}$ \frac{1}{n}的倍数集合 $n$ n（有人可能会认为这种概率是公平的，因为 $1 / n$ 1/n整数是 $n$ n）。它的不存在是 Borell-Cantelli 引理的必然结果，使用 ${p N}_{p}$ \{p \Bbb N\}_p是独立事件，其中 $p$ p贯穿素数集合。 — 
@Malady “每个家庭没有一个 Aleph 孩子”政策。 — 
难道不能通过将这个问题转换为极限来解决“无概率分布”问题吗？这难道不是我们在数学中处理无穷大的方法吗？ —

Answer 2

让我们假设这个前提成立。然后我们可以给每个人一个数字，从现在起直到永远，每天都会有一个数字被转移。

现在假设我们无所不知。那么实际上，谁在什么时候被转移是由双射给出的 $f : N \to N$ f:\mathbb N\to \mathbb N。

所以，既然你是人类，你就有一个数字 $n$ n，就这样 $f (n)$ f(n)是你死亡（或救赎）的日子。因为 $f$ f是 $N$ \mathbb N，那一天是一个有限的数字。

所以现在我们知道：如果我们选择从地狱开始，那么最终，我们将得到救赎。

这里最糟糕的情况是我们只是推断出了一个不可能的情况的后果 – 但从理性的角度来看，这对我们来说没问题：因为如果这是一个不可能的情况，我们将永远不会陷入必须选择的困境。如果我们陷入这种情况，那么显然这是可能的（或者我们被骗了）。

Answer 3

如果问题确实有效

我确信这个问题根本就没有意义。

物理上不存在无限多个离散物体同时存在的情况。

“无限集”纯粹是一种哲学构造。

也就是说，它是虚构的。

它写在某本书里，这本书的书名是“论无限集……”

概念

从“无限集”的物体中选择（拿起、选择、触摸、指向）一个物体

仅仅取决于书中所述的认识论，由撰写有关无限集的书的人或如果有多本书的话，由您选择讨论该主题的任何一本书来讨论。

概念

从“无限集”的物体中选择（拿起、选择、触摸、指向）一个物体

是完全抽象的，并且该概念仅取决于“无限集”的完全抽象定义中“选择”的完全抽象定义（无论您使用哪种定义）。

概率 – 从无限的人群中随机选择一个人是否从一开始就是一个无效的前提？ – 数学

最佳答案
3

概率 – 从无限的人群中随机选择一个人是否从一开始就是一个无效的前提？ – 数学

最佳答案 3

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