让D ⊂R2德⊂R2D\subset \mathbb R^2成为一个地区并让Λ = {λ1，λ2，… }Λ={λ1，λ2，…}\Lambda=\{\lambda_1,\lambda_2,\dots\}是拉普拉斯算子的特征值集− Δ−Δ-\Delta（带边界条件ψ = 0ψ=0\psi=0在∂德∂德\partial D）。
Mark Kac 在其著名文章中，仅考虑了函数的渐近性∑λ ∈ Λ埃−λt∑λ∈Λ埃−λ吨\sum_{\lambda\in\Lambda}e^{-\lambda t}作为吨→0+吨→0+t\to0^+，因此无法检测是否有有限多个λ我λ我\lambda_i被修改了。这让我想知道：
可以有两个平面区域吗德1德1D_1和德2德2D_2使用拉普拉斯特征值Λ1Λ1\Lambda_1和Λ2Λ2\Lambda_2分别存在λ > 0λ>0\lambda>0使得Λ1∩R> λ=Λ2∩R> λΛ1∩R>λ=Λ2∩R>λ\Lambda_1\cap\mathbb R_{>\lambda}=\Lambda_2\cap\mathbb R_{>\lambda}但Λ1≠Λ2Λ1≠Λ2\Lambda_1\ne\Lambda_2? 换句话说，两个区域是否可以“几乎”是同谱的，但实际上并不是同谱的？
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最佳答案
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这确实是真的。如第 618 页中所述，这属于Kac 的逆谱问题：
给定序列
0 \leq
\lambda_1 <
\lambda_2 \leq \lambda_3 \leq ···，是否存在一个域Ω⊂RdΩ⊂Rd
\Omega\subset \mathbb R^d具有狄利克雷或诺伊曼边界条件的拉普拉斯算子具有由该序列给出的谱？
Colin de Verdière 和 Yves 研究了有限序列的这些问题{λn}否n = 1{λn}n=1否\{
\lambda_n\}_{n=1}^{N}中证明了在某些限制下此类域或流形的存在
所以回到你的问题，可以取两个仅在前几个方面不同，但其他方面相等的序列并获得两个域。
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我不明白您如何从选择有限数量的特征值过渡到强制除有限多个特征值外的所有特征值相等。您是否允许断开连接的区域？
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如果我的法语还行的话，链接的文章证明的是，给定任何初始部分，都有一个运算符，其特征值与给定的特征值一样，无法控制后续发生的事情。虽然这很有趣，但似乎与 OP 的要求相差甚远。
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我不知道λ ≈ 0λ≈0\lambda\approx 0对应于低或高波长的音调，但是如果是高波长，您可以将其重新表述为年轻人可以区分但老年人无法区分的鼓。
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@MarkSchultz-Wu 不幸的是小频率对应低音调。
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