良序集的主要特性之一是我们可以对它们进行归纳论证。设（X，≤ ）（X，≤）(X,\leq)是一个有序集合。我们定义零零\textbf{zero}的XXX

0_X:=\min(X).
让磷磷\mathcal{P}是可以通过以下元素满足的属性XXX。 如果x∈X​​X∈Xx\in X满足磷磷\mathcal{P}， 我们写磷（X ）磷（X）\mathcal{P}(x)。 如果XXx不能满足磷磷\mathcal{P}我们写¬ P（X ）¬磷（X）\neg \mathcal{P}(x)以下定理成立

归纳原理：
如果磷（0X）磷（0X）\mathcal{P}(0_X)并且以下推论成立

（页（是) 对任意 y< x）⇒ P（X ）（磷（是） 对于任意 是<X）⇒磷（X）

(\mathcal{P}(y)\text{ for any $y<x$})\Rightarrow \mathcal{P}(x)
对于任意x∈X​​X∈Xx\in X， 然后磷（X ）磷（X）\mathcal{P}(x)对于任意x∈X​​X∈Xx\in X

证明：通过反证，我们假设¬ P（X′）¬磷（X′）\neg \mathcal{P}(x’)对于一些X′∈X​X′∈Xx’\in X。因此以下集合非空

I:=\{x\in X:\neg \mathcal{P}(x)\}=\{x\in X \text{ that don’t satisfy $\mathcal{P}$}\}
自从我≠ ∅我≠∅I\neq \varnothing和≤≤\leq是良序的，我们可以定义

x_{\text{min}}:=\min(I).
自从X分钟=分钟（我）X分钟=分钟（我）x_{\text{min}}=\min(I)，我们有磷（是）磷（是）\mathcal{P}(y)对于任意是<X分钟是<X分钟y<x_{\text{min}}。那么根据我们的假设，我们有磷（X分钟）磷（X分钟）\mathcal{P}(x_{\text{min}}). 这是矛盾的，因为¬ P（X分钟）¬磷（X分钟）\neg\mathcal{P}(x_{\text{min}})， 自从X分钟∈我X分钟∈我x_{\text{min}}\in I。   □   ◻\ \ \ \square

“归纳原理”是良序集概念背后的主要动机。事实上，以下（甚至更强的）结果成立。

“归纳原理”当且仅当该秩序是良序时才成立。

证明：我们已经证明，如果我们有一个良序，那么归纳原理就成立。

反之亦然，我们假设（X，≤ ）（X，≤）(X,\leq)是一个偏序集，并且归纳原理适用于（X，≤ ）（X，≤）(X,\leq)。

相反，我们假设≤≤\leq不是良序的；所以有一个非空子集J⊆ XJ⊆XJ\subseteq X没有最低限度。

首先，XXX必须至少有0X0X0_X，否则感应原理就完全没有意义了。

让磷J磷J\mathcal{P}_J属于“不属于JJJ“：

\mathcal{P}_J(x)\overset{\text{def}}{\iff} x\notin J.
清楚地磷J（0X）磷J（0X）\mathcal{P}_J(0_X)， 否则0X0X0_X至少是JJJ。

此外，如果x∈X​​X∈Xx\in X和磷J（是）磷J（是）\mathcal{P}_J(y)对于任意是< x是<Xy<x， 然后磷J（X ）磷J（X）\mathcal{P}_J(x)。事实上，如果矛盾的是x∈J​​X∈Jx\in J和是∉​是∉Jy\notin J对于任意是< x是<Xy<x， 然后XXx至少是JJJ。

自从磷J磷J\mathcal{P}_J满足归纳原理的假设，我们有磷J（X ）磷J（X）\mathcal{P}_J(x)对于任意x∈X​​X∈Xx\in X。 所以x∉J​​X∉Jx\notin J对于任意 x∈X​​X∈Xx\in X。 自从J⊆ XJ⊆XJ\subseteq X，这意味着J= ∅J=∅J=\varnothing。这是矛盾的，因为JJJ非空。   □   ◻\ \ \ \square

许多数学证明都依赖于最小值的概念。然而，这个概念只在某些情况下有意义。良序集是一个完全有序集，其中最小值的概念通常是有意义的，因为任何非空子集都有一个最小元素。之所以选择最小值而不是最大值，是因为数学对象，比如自然数0，1 ，…​​​​0，1，。。。0,1,…，都是从地面往上建造的。