Question

我该如何解释这个机械系统的正常模式？

该系统的运动方程如下：

⎡ ⎣ ⎢ 米 1 米 2 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 你 ¨ 1 你 ¨ 2 α ¨ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ + ⎡ ⎣ ⎢ 钾 1 + 钾 2 0 - 一 钾 2 0 钾 3 + 钾 4 -b ​ 钾 3 - 一 钾 2 -b ​ 钾 3 A 2 钾 2 + b 2 钾 3 ⎤ ⎦ ⎥ ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 你 1 你 2 α ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 000 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪

\left[\begin{array}{ccc}
m_{1}\\
& m_{2}\\
& & 0
\end{array}\right]\left\{ \begin{array}{c}
\ddot{u}_{1}\\
\ddot{u}_{2}\\
\ddot{\alpha}
\end{array}\right\} +\left[\begin{array}{ccc}
k_{1}+k_{2} & 0 & -ak_{2}\\
0 & k_{3}+k_{4} & -bk_{3}\\
-ak_{2} & -bk_{3} & a^{2}k_{2}+b^{2}k_{3}
\end{array}\right]\left\{ \begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}\\
\alpha
\end{array}\right\} =\left\{ \begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right\}

为了简化分析，假设（省略单位） $m_{1} = m_{2} = 1$ m_{1}=m_{2}=1， $k_{1} = k_{2} = k_{3} = k_{4} = 1$ k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{4}=1，和 $a = b = 1$ a=b=1因此，该系统的特征方程为：

（ 2 - ω 2 ） （ 1 - ω 2 ） = 0

\left(2-\omega^{2}\right)\left(1-\omega^{2}\right)=0因此，有两个与正常模式相关的频率， $ω_{1} = 1$ \omega_{1}=1和 $ω_{2} = \sqrt{2}$ \omega_{2}=\sqrt{2}据我了解，在这种情况下，应该有三个频率与系统的正常模式相关。第三个频率会发生什么？ $ω_{3}$ \omega_{3}？

以下所有四个答案都提到了潜在的数学问题，但没有指出它的名字：。这个主题很庞大，非常有趣；在物理学/工程学中，它出现在诸如此类的理想化中（支点上的无惯性刚性杆），以及诸如当两个不同电压的理想电池连接 ++ 和 — 时会发生什么等问题中。 —

Answer 1

我没有尝试做代数运算，但我假设你已经发现了 $(ω^{2})^{3}$ (\omega^2)^3特征方程中的值为零。要理解这意味着什么，请考虑二次方程的简单情况

A X 2 + bx + c = 0 ​

ax^2+b x+c=0

所以

x = -b \pm ​ b 2 -4 一 ​ ​ - - - - - - - \sqrt 2 一 。

x= \frac{- b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

作为 $a \to 0$ a\to 0你会发现上述表达式的极限 $x$ x是 $- c / b$ -c/b和 $\infty$ \infty。同样的事情也发生在你身上：如果你给杆赋予一些非零的惯性矩 $I$ I然后 $I \to 0$ I\to 0你会发现其中一个频率变得无穷大。这意味着无质量杆会立即调整其位置，使杆上的净扭矩为零。这个条件正是你在推导给定无质量杆的方程时所假设的。

Answer 2

你写的系统是一个 DAE（微分代数方程）系统，因为第三个方程是一个表示代数约束的代数方程。由于杆是无质量的，它的旋转“运动方程”

我 θ ¨ = \sum 钾 米 外部 ​ ​ 钾

I \ddot{\theta} = \sum_k M_k^{ext}

在表示矩平衡的代数方程中“退化”

0 = \sum 钾 米 外部 ​ ​ 钾 。

0 = \sum_k M_k^{ext} \ .

一旦您对这些系统有一点熟悉，您就可以将代数方程（在这个问题中表示没有质量的刚体）视为具有无限快速动力学的动力学方程。

限制 $I \to 0$ I \rightarrow 0。如果这样做，您应该会得到两种与“精确”模式非常相似的模式，以及一种主要涉及杆旋转且质量几乎没有运动的模式。作为“检查”，这里是模式频率和振幅（我太懒了，不想制作动画），以及您提供的数据和 $I = 0.1$ I = 0.1

Ω 2 = {21.0499, 2., .9501} ， 五 = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎡ ⎣ ⎢ - 5.2 \cdot 10 - 2 - 5.2 \cdot 10 - 2 1. ⎤ ⎦ ⎥ ， ⎡ ⎣ ⎢ 1. - 1. 0. ⎤ ⎦ ⎥ ， ⎡ ⎣ ⎢ - 9.5 \cdot 10 - 1 - 9.5 \cdot 10 - 1 - 1. ⎤ ⎦ ⎥ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪

\Omega^2 = \{ 21.0499, \ 2. , \ .9501 \} \qquad , \qquad V = \left\{ \begin{bmatrix} -5.2\cdot10^{-2} \\-5.2\cdot10^{-2} \\ 1.\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1. \\ -1. \\ 0. \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -9.5 \cdot 10^{-1} \\ – 9.5\cdot10^{-1} \\ -1.\end{bmatrix} \right\}

和 $I = 0.01$ I = 0.01

Ω 2 = {201.0050, 2., .9950} ， 五 = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎡ ⎣ ⎢ - 5. \cdot 10 - 3 - 5. \cdot 10 - 3 1. ⎤ ⎦ ⎥ ， ⎡ ⎣ ⎢ 1. - 1. 0. ⎤ ⎦ ⎥ ， ⎡ ⎣ ⎢ - 9.9 \cdot 10 - 1 - 9.9 \cdot 10 - 1 - 1. ⎤ ⎦ ⎥ ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪

\Omega^2 = \left\{ 201.0050, \ 2. , \ .9950 \right\} \qquad , \qquad V = \left\{\begin{bmatrix} -5.\cdot10^{-3} \\-5.\cdot10^{-3} \\ 1. \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1. \\ -1. \\ 0. \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -9.9 \cdot 10^{-1} \\ – 9.9 \cdot10^{-1} \\ -1. \end{bmatrix} \right\}

看一下这些模式，你就能意识到这三种模式的“含义”：

高频模式主要涉及杆的旋转。当杆没有质量时，这种“局部模式”是“丢失模式”。随着惯性的减小，推车运动的贡献也会减小（从 $10^{- 2}$ 10^{-2}到 $10^{- 3}$ 10^{-3}）
第二种“反对称”模式涉及推车的“反相”振动，对称系统中杆不旋转
第三种“低频模式”，推车沿同一方向移动（与杆的极端点一起）

从 DAE 到 ODE。有时，利用代数约束并将方程组简化为 DAE 系统会很有用。例如，在这里您可以使用代数方程来查找

α = A 钾 2 A 2 钾 2 + b 2 钾 3 你 1 + b 钾 3 A 2 钾 2 + b 2 钾 3 你 2 ，

\alpha = \frac{a k_2}{a^2 k_2 + b^2 k_3} u_1 + \frac{b k_3}{a^2 k_2 + b^2 k_3} u_2 \ ,

并将其替换为其他两个方程，得到具有两个二阶方程的 ODE 系统。该 ODE 系统（表示无阻尼机械系统）具有 2 对复共轭特征值，正如预期的那样。

Answer 3

在这个例子中，所有的连杆所做的就是将位移转换为 $u_{3}$ u_3顶部位移 $- \frac{b}{a} u_{3}$ -\frac ba u_3瞬间到达底部，因此您不应期望有任何相关的固有频率。

一个类似的概念是无质量弦，它用于改变力的作用点和方向。

正如其他帖子所指出的那样，最好为杆分配一个有限的转动惯量，并在分析中的适当时间观察转动惯量趋于零时会发生什么。

Answer 4

好吧，除了计算自由度 (DoF) 之外我没有做其他数学运算，但这是我的思考过程：

$3 x 3$ 3 x 3矩阵：3 个维度应该有 3 个特征值，对应 3 个自由度。

但是你有 2 个质量，所以这是一个二维问题。

哦，等等，你包括这个可以在不移动 m1 或 m2 的情况下振荡的无质量杆的角度，并且它存储具有零动能的势能（理想弹簧） – 所以它应该具有无限的频率：最好在数学上存在问题。

同时，其他 2 个 DoF 应为通常情况：COM 移动（质量具有固定分离），COM 静止且质量朝相反方向移动。

经典力学 – 我该如何解释这个机械系统的正常模式？ – Physics

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