Question

我当时正在思考对称分布与非对称分布，结果发现自己陷入了一个从未想过的想法。我们知道，正态分布、拉普拉斯分布等对称分布在均值周围的曲线下面积相同（在对称情况下，均值等于中位数）。

但是，如果尾部下方的面积等于主瓣的面积，那么非对称分布（例如 GEV

可以通过分析找到这种分布的参数吗？

绝对可以。例子其实很容易构造，尤其是在离散随机变量这种简单情况下。试着将概率放在 1 到 5 的数字上，看看你是否能想出一个例子。当你这样做的时候，请在问题中添加。谢谢！ — 
请查看了解构建不对称且具有相同均值和中位数的分布的一种方法。 — 
…尽管如此，我还是给这个问题增加了一些额外的限制，所以解决起来还是费了点劲 — 
每个这样的分布函数 $F$ F可以通过选择中位数来获得 $m,$ m,选择分布 $G$ G支持 $[0, \infty)$ [0,\infty)和不同的分布 $H$ H支持 $(- \infty, 0],$ (-\infty, 0],和设置 $F (x) = (G (x - m) + H (x - m)) / 2$ F(x)=(G(x-m)+H(x-m))/2对全部 $x .$ x. 这样的例子不胜枚举 $G$ G和 $H .$ H. —

Accepted Answer

您的标题问题等同于问“非对称分布的均值是否等于中位数”，答案是“是”，网站上已经有很多例子了。构造任意数量的样本都很简单

对于 GEV，Gumbel 和 Frechet 不能，但逆威布尔可以；你需要威布尔形状参数约为 $k = 3.4395431137$ k=3.4395431137对应于 $ξ = - k$ \xi=-k在 GEV 中。我指的是维基百科那里的参数化。你可以直接取 GEV 的平均值和中位数的表达式 $ξ < 0$ \xi<0案例，或者实际上对于威布尔本身，在任何一种情况下，都可以从其维基百科页面的侧边栏中找到，并将平均值和中位数的表达式相等，以获得一个非线性方程来求解（这在软件中很容易，或者如果您有可用的函数，可以通过标准根查找方法“手动”求解 – 或者如果您有一两分钟的时间，甚至可以通过一点反复试验来解决）。

这个例子不是特别令人满意，因为威布尔很难从视觉上与该区域的对称性区分开来，但它从来都不对称。

一个更令人满意的例子：如前所述，我想要一个连续的例子，其密度连续，但不是多峰的（尽管它的模式是从 0 到 m 的整个区间）。我通过对非负值取两个非递增密度来构建它，每个密度的平均值均为 1，高度为 $0$ 0匹配。然后我把其中一个翻转过来 $x = 0$ x=0，并将两者各取一半，得到期望的结果，即平均值和中位数都是 $0$ 0。

三角形的设置很简单，另一个本身就是均匀分布和移位指数的混合，设计为高度在连接点处相交（ $m$ m）。这是用足够多的自由参数实现的，这样我既可以将平均值设置为 1，又可以将高度与其他密度相匹配。这种方法结合其他最左和最右密度的选择（以及明智地选择将哪一个与均匀密度进行移动和组合）应该适用于各种各样的例子。

均匀分布的作用只是增加自由度，以便在它们原本不会在中位数处对齐时获得组合密度的连续性。如果不需要这样做，您可以将此技巧用于几乎任何两个具有相同平均值但不同形状的分布，方法是将一个分布翻转为 0 后取 50-50 的混合。

如图所示，三角形部分位于 $(- 3, 0]$ (-3,0]并且有高度 $\frac{1}{3}$ \frac13（使其面积 $\frac{1}{2}$ \frac12）制服 $(0, m]$ (0,m]在哪里 $m = (3 - \sqrt{3}) / 2$ m=(3-\sqrt{3})/2混合比例为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ \frac12-\frac{\sqrt{3}}{6}，使其高度为 $\frac{1}{3}$ \frac13，并且移位指数具有混合比例 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ \frac{\sqrt{3}}{6}，速率参数 $λ = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ \lambda =\frac{2\sqrt{3}}{3}和移位参数 $m$ m，也赋予它高度 $\frac{1}{3}$ \frac13。确认均值和中位数使得整个分布具有均值是一件简单的事情 $0$ 0和中位数 $0$ 0。

该分布相对容易模拟值，从而可以对工作进行有用的最终合理性检查，包括密度函数是否真正满足并具有所需的形状以及平均值和中位数的值。

（这似乎很简单，找到使平均值和中位数都 $0$ 0可以作为学生的概率练习，但其中的内容太多，如果记谱松懈或工作粗心，就会导致困难。

如果需要一个在单个点处具有众数的示例，则该分布与平均值、中位数和众数都为零的对称单峰分布的混合应该有效（例如正态分布、拉普拉斯分布或移位和缩放的对称 beta 分布）。但是，我对这个很满意；我认为它既清晰又引人注目。

[不过，我想到了第二个，我可能会使用不同的方法。]

+1 思考 Glen_b 的开场白的一个直观方法是考虑非对称分布一侧的形状，然后 (a) 想象将其曲线下的面积缩小至零（可能同时保留无限对数尾部，也可能不），然后 (b) 想象将其曲线下的面积增加至一（此处的“可能”相同）。现在认识到您可以 (c) 对分布的另一侧执行同样的操作，并且 (d) 您可以缩小或增大每一侧，直到其面积正好为一半。 — 
@Glen_b 感谢您的回复。是的，我的问题的另一种表达方式是均值等于中位数。根据您和其他人的回复，我们可以说 investopedia 网站上的以下定义是错误的，对吗？“非对称分布是指变量值以不规则的频率出现，并且均值、中位数和众数出现在不同点的情况。” （因为非对称分布的众数和中位数确实可以相等） — 
是的，这当然是错的。当平均中位数和众数都相等且矩偏度为零时，就会出现不对称……我有例子。事实上，我们也可以堆积其他单数不对称度量，尽管构造变得更加困难。要以一种避免这种情况的方式描述不对称，需要一个函数。Investopedia 有更多错误。避免过度依赖它 — 
道格拉斯，我添加了一个相对好的例子——连续的、非常明显的不对称，但平均值和中位数仍然为 0。 —

Answer 2

一个很好的例子是，任何具有整数均值的二项分布的中位数都等于其均值（这在一般情况下很难证明，但在任何具体例子中都很容易证明）。

对称性 – 非对称分布在均值周围两侧的 PDF 下是否可以具有相同的面积？ – 交叉验证

最佳答案
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对称性 – 非对称分布在均值周围两侧的 PDF 下是否可以具有相同的面积？ – 交叉验证

最佳答案 2

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