Question

如果 $x$ x是有理数且在区间 $[0, 1)$ {[0,1)}，是否总能找到常数 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} \in {- 1, 0, 1}$ a_1, a_2, …, a_n\in\{-1, 0, 1\}对于某个整数 $n \geq 1$ n\geq{1}， $x = a_{1} \cdot 2^{- 1} + a_{2} \cdot 2^{- 2} + \dots + a_{n} \cdot 2^{- n}$ x = a_1\cdot2^{-1} + a_2\cdot{2^{-2}} + \cdots + a_n\cdot{2^{-n}}？

这个问题纯粹是出于好奇。当我看到这样的东西时，我能想到“基础 $1 / 2$ 1/2“（虽然我不太确定是否像二进制那样写出来）或者 $- 1$ -1常数选项会造成问题吗？我还想过如何通过幂的和来得到任何正整数 $2$ 2（因为是二进制），我能将这种见解应用于上述问题吗？

此外，将上述条件改为 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n} \in {0, 1}$ a_1, a_2, …, a_n\in\{0, 1\}改变答案？

我不确定这是否更像是一个线性代数问题，考虑无限基的跨度，或者这是否更像是一个考虑有理数密度的实分析问题。感谢您的见解。

这是一个已知问题，因为这是表示这些数字的方式。众所周知，无论精度如何，1/3 都无法使用浮点数精确表示。 — 
@Themoonisacheese，这与 IEEE754 表示法密切相关，但并不完全相同，因为问题并没有任意限制表示的长度。这相当于询问 [0, 1) 中的每个有理数是否都有终止二进制表示。对于任何任意的 IEEE754 样式二进制格式，都有有理数确实具有终止二进制表示法，但仍然无法以所选格式准确表达，因为它没有提供足够的有效数字。 —

Accepted Answer

不，不可能写出所有有理数 $[0, 1)$ [0,1)以这种方式书写的分数形式如下 $m / 2^{n}$ m/2^n为了 $m, n \geq 0$ m,n\ge 0和 $m < 2^{n}$ m<2^n。任何分母能被奇素数整除，而分子不能被该素数整除的分数都不能用这种形式表示。这些有时被称为二元有理数。无论你使用 ${1, 0}$ \{1,0\}或者 ${0, 1, - 1}$ \{0,1,-1\}。

\endgroup

7

\begingroup
@Garrett 思考的后续问题是：如果我们允许 $n \to \infty$ n \to \infty，即哪些数字是逆幂的无穷和 $2$ 2其中幂可能是某个无限的子集 $J \subset Z$ J \subset \mathbb{Z}。
\endgroup

–
1

\begingroup
@DerekAllums 由于 Garrett 尚未发布评论，因此 Garrett未注册到此答案。这意味着 Garrett 不会被您的 <at>Garret 评论标记。一个简单的补救措施是，您直接在发布的问题后发布一条评论，内容如下：致原始发帖人 ：另请参阅我在 Joshua Tilley 的回答后留下的评论。
\endgroup

–
\begingroup
@Joshua Tilley 谢谢，很有道理。所以一般形式是 $x = \frac{a_{1} \cdot 2^{n - 1} \pm a_{2} \cdot 2^{n - 2} \pm \dots \pm a_{n}}{2^{n}}$ x = \displaystyle\frac{a_1\cdot{2^{n-1}} \pm a_2\cdot{2^{n-2}} \pm \cdots \pm a_n}{2^n}，其中分子最多可以是 $2^{n} - 1$ 2^n – 1而且分母中不可能出现奇素数。如果我把线性组合改成所有素数的逆幂，我想这样就行了。有没有“更小”的公式可以生成所有的 $[0, 1)$ [0, 1)？
\endgroup

–
\begingroup
你能说得更精确一些吗？
\endgroup

–
\begingroup
@DerekAllums 至少，我们可以从 $2^{- p}$ 2^{-p}并具有任意形式公比的几何级数 $2^{- q}$ 2^{-q}这是获得更多有理数（使用新分母）的一种方法。不确定如何处理非几何级数或如何使用 $- 1$ -1以智能方式计算系数
\endgroup

–

|

Answer 2

所有其他答案都非常有启发性，但令我惊讶的是，没有一个答案提供实际的反例，尽管找到一个反例非常容易。

假使，假设

1 3 = \sum k = 1 n A 钾 2 钾 ，

\frac{1}{3} = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{2^k},

在哪里 ${a_{k}}$ \{a_k\}是你想要的任意整数。然后

2 n = 3 \sum k = 1 n A 钾 2 n - k 。

2^n = 3\sum_{k=1}^{n} a_k2^{n-k}.

注意 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} 2^{n - k}$ \sum_{k=1}^{n} a_k2^{n-k}是整数。因此， $3$ 3必须划分 $2^{n}$ 2^n，这是一个矛盾。

我并不是很在意 +1/-1 系统，但如果投反对票的人能解释一下我的答案到底哪里不适合他们，那就是突出 — 
我的回答解释了所有反例，但是的，一个就足以回答他们的具体问题。 — 
@JoshuaTilley 我同意我的回答隐含在你的回答中。但是，我认为展示一个明确而简单的反例比在没有证据的情况下说出他们是谁更有说服力。 —

Answer 3

基本上，你要求写出一个介于零和一之间的有理数 $2$ 2符号，但以有限的方式。这可能吗？

好吧，让我们看看基地里会发生什么 $10$ 10符号：

$\frac{1}{2} = 0.5$ \frac{1}{2} = 0.5=> 好的，那是有限的。
$\frac{1}{125} = 0.008$ \frac{1}{125} = 0.008=> 好的，这也是有限的。
$\frac{1}{3} = 0.333...$ \frac{1}{3} = 0.333…=> nok，那不是有限的。

区别在于分母的质数分解：如果它包含任何不同于 $2$ 2或者 $5$ 5，以基数表示 $10$ 10（事实上 $2 \times 5$ 2 \times 5) 变为无限。

想象一下，我们不仅会使用数字 $0$ 0取决于 $9$ 9但我们也允许使用负数 $- 1$ -1取决于 $- 9$ -9，这会有什么不同吗？

好吧，因为每个负数 $- x$ -x可以写成 $(10 - x) - 10$ (10-x) – 10在哪里 $10 - x$ 10-x是一个正数，你可以很容易地看到这没有什么区别。

因此，以有限方式写出有理数，即提出的方法，只有当分母只计算一个素数时才有可能，即 $2$ 2。

Answer 4

因为您有三个系数选择，即 ${- 1, 0, 1}$ \{-1,0,1\}，你可能会猜测（特别是现在你最初的问题已经得到否定的回答）这更像是一个三元组（即基 $3$ 3）设置。

通常为基底 $3$ 3系数为 ${0, 1, 2}$ \{0,1,2\}，但也可以采用您指定的系数来完成。具体来说，它被称为平衡三元组( )，在平衡秤问题（以及其他应用）中有各种用途。有关更多信息，请参阅链接的 wiki 页面！

我不确定如何理解这个答案。“这更像是三元设置”是什么意思？平衡三元可能很有趣，但我看不出它与 OP 的问题有什么关系，因为他们使用的是 2 进制（从数字以 2 的幂构成的意义上来说）。也许这应该是一条评论？ —

实分析 – 通过 2 的反幂构造区间 [0, 1) – 数学问答

最佳答案
4

实分析 – 通过 2 的反幂构造区间 [0, 1) – 数学问答

最佳答案 4

最佳答案
4