Question

根据维基百科，只是静止源的经典多普勒效应， $1 - v / c$ 1-v/c乘以相对论时间膨胀， $1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ 1/\sqrt{1-v^2/c^2}（其中 v 是相对速度），可以简化为

1 - v / c 1 + 垂直 / 垂直 - - - - - - - \sqrt 。

\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}.

然后它继续说，假设一个固定的接收机也会产生相同的结果，但事实并非如此，至少就其自身的推导而言，因为固定接收机的经典多普勒效应是 $1 / (1 + v / c)$ 1/(1+v/c). 这与 $1 - v / c$ 1-v/c，因此两者不可能相同。

如何解决？

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记住，一切运动都是相对的。
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– — 
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这正是提出该问题的原因。
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Answer 1

你必须考虑到 $γ$ \gamma在两种效果中。相同的术语是 $γ (1 - \frac{v}{c})$ \gamma (1-\frac v c)和 $\frac{1}{γ (1 + \frac{v}{c})}$ \frac 1 {\gamma \left(1 + \frac v c \right)}。这是因为

$\frac{1}{γ^{2}} = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} = (1 + \frac{v}{c}) (1 - \frac{v}{c})$ \displaystyle \frac 1 {\gamma^2} = 1- \frac {v^2}{c^2} = \left( 1 + \frac v c \right) \left( 1 – \frac v c \right)

如果相对论效应中接收器和源之间没有完全的对称性，那么我们就可以检测到绝对运动（我们会知道接收器还是源在移动），而这在狭义相对论中是无法做到的。

从数学上讲，这很有道理，但你似乎在说，在第一种情况下，时间膨胀是伽马，而在第二种情况下，时间膨胀是 1/伽马。为什么会有差异？ —

Answer 2

无论是接收器还是源被视为静止的，相对论多普勒因子都必须相同，因为在相对论中，无法确定是接收器还是源“真正”在移动。

从数学上讲，这是有道理的，但是……在第一种情况下，时间膨胀是伽马，而在第二种情况下，时间膨胀是 1/伽马。为什么会有差异？ ——约翰·霍布森

当接收器移开时，接收频率会降低常规多普勒因子 $(1 - v / c)$ (1-v/c)，但由于接收器的时钟在这个参考系中被认为运行缓慢，它测量到达峰值之间的较短间隔，从而将经典接收频率增加伽马因子。
当源远离接收器时，接收频率会降低常规多普勒因子 $1 / (1 + v / c)$ 1/(1+v/c)，但现在它是被认为是时间膨胀的源，它以较慢的速率发射光子，将经典接收频率降低 1/gamma 倍。

正如维基百科所声称的，无论是接收器还是源都是静止的，最终结果都是相同的。

我想我可能已经预料到了这一点，但还是感谢您的澄清。但难道没有另一个问题吗？在两种情况下，接收者都是观察者吗？观察者自己的时钟永远不会膨胀。 — 
@JohnHobson 膨胀始终是一个相对概念。说观察者的时钟永远不会膨胀是一个绝对的说法，因此实际上没有意义。事实上，我们这样说的意思是，我们将参考时间固定为观察者（因为他正在观察他的时钟的滴答声），并描述相对于这个滴答声的时钟 — 
您在方程式中涉及伽马的方式使这个答案变得优雅。 — 
@ThomasTappeiner 的评论回答非常准确。我只想补充一点，虽然有两个观察者，但“观察者”传统上是认为另一个观察者在移动的观察者。如果 Anne 是发射器，Bob 是接收器，那么 $F_{r} / f_{e}$ F_r/f_e是他们各自测量的结果与之后比较笔记时得到的结果之比。我可以把这个比率写成 $f_{A n n e} / f_{B o b}$ f_{Anne}/f_{Bob}并且他们都同意这个比例。显然 $f_{A n n e} / f_{B o b}$ f_{Anne}/f_{Bob}并不是单个观察者的测量。他们使用不同的计算方法，但得到的结果是一样的。 —

Answer 3

但你的最后两个表达式在极限上大致相同 $v ≪ c$ v\ll c. 使用二项式展开，

（ 1 + ϵ ） n = 1 + n ϵ + n （ n - 1 ） 2 ！ ϵ 2 + \dots \approx 1 + n ϵ

\begin{align}
(1+\epsilon)^n&= 1+n\epsilon+\frac{n(n-1)}{2!}\epsilon^2+\cdots
\\&≈1+n\epsilon
\end{align}

当产品 $n ϵ ≪ 1$ n\epsilon\ll 1.这立即给出 $(1 - v / c)^{- 1} \approx 1 + v / c$ (1-v/c)^{-1}≈1+v/c在非相对论极限中。

大致相同是不行的，尤其是只有当 v 相对于 c 较大时才需要相对论公式。 —

Answer 4

对于在介质中传播的声波，存在一个明显的绝对坐标系，其中声波的频率与源 (Tx) 或接收器 (Rx) 的运动无关。从那里开始，Tx 和 Rx 过程在物理上是不同的。在它们的静止坐标系中，一个在移动的流体中发送，另一个在移动的流体中接收——物理差异反映在多普勒公式中（例如，1 马赫时的发散）。

现在，如果我们想象一个电磁平面波在空间中传播：它没有频率。它有一个 4 波矢量，我们在框架中将其写为：

钾 μ = （ ω / c ， 钾 ⃗ ）

k_{\mu} = (\omega/c, \vec k)

我们唯一可以确定的是：

钾 μ 钾 μ = ω 2 C 2 - || ​ 钾 ⃗ | | 2 = 0

k_{\mu}k^{\mu} = \frac{\omega^2}{c^2} -||\vec k||^2 = 0

在所有框架中（这是色散关系 $ω = c k$ \omega=ck）。

（请注意，如果您更愿意考虑光子并讨论动量，那么只需使用：

页 μ = ℏ 钾 μ = (E / C ， 页 ⃗ ）

p_{\mu} = \hbar k_{\mu} = (E/c, \vec p)

它可能不那么抽象。色散关系变成 $E = p c$ E=pc意思是 $m_{γ} = 0$ m_{\gamma}=0）。

正是在这个时候，你必须克制住与人交往的冲动 $ω$ \omega与源。与声音的情况一样，似乎有一个自然框架，但实际上没有。波传播时没有介质（以太），如果不考虑源的静止框架，就无法分配波长……

…或者如果源在移动，那么框架定义源的运动，但这是完全任意的。

现在在接收端：Rx 不知道源的运动是什么，并且它对结果没有影响。只有一个框架，接收器处于静止状态， $ω$ \omega和 $\vec{k}$ \vec k有价值观。

这是违反直觉的，因为我们通常将电磁辐射与源联系起来——太阳中的氦光谱、21 厘米线、511 KeV 湮没 $γ$ \gamma…但实际上，这并不重要。平面波只有在 Rx 看到它时才存在。（请记住，虚波具有任意频率，因此它不是具有明确定义频率的某种物理过程）。

所以这意味着，如果辐射源 $ω_{T x}$ \omega_{Tx}，接收者看到 $ω_{R x}$ \omega_{Rx}，多普勒频移只能取决于它们的相对速度，因此必须是对称的。

五 电视 = 0

v_T = 0

五 R \equiv 五 0

v_R \equiv v_0

在物理上与以下无法区分：

五 电视 \equiv - 五 0

v_T \equiv -v_0

五 R = 0

v_R = 0

此外，所有介于两者之间的情况（或不介于两者之间的情况）都是无法区分的，前提是：

五 R + 五 电视 1 + 五 R 五 电视 C 2 = 五 0

\frac{v_R + v_T}{1 + \frac{v_Rv_T}{c^2}} = v_0

所以我希望这是有道理的。这确实需要理解以下含义：

一切运动都是相对的。
不存在绝对的静止坐标系。
光总是以 $c$ c。

这是一个很难迈出的一步，因为相对论被引入为“运动的影响”，但其核心原理是不存在“运动”这样的东西。

只有相对运动，即使如此，Tx 和 Rx 也没有绝对速度（因此有上面的最后一个公式）。

现在，如果您确实将这一点放在心上，您就不会把相对论多普勒频移视为通过长度收缩或时间膨胀修改的经典多普勒频移。

尽管如此，思考时间膨胀的振荡和波峰之间的长度收缩距离是有益的，即不同的 3 + 1 视图：

埃 （ x ） = 埃 0 埃 我 （ 钾 ⃗ \cdot X ⃗ -ωt) ​ ​

E(x) = E_0e^{i(\vec k \cdot \vec x – \omega t)}

就像我们处理一根杆子穿过谷仓，两扇门“同时”关闭的情况一样。请注意，杆子-谷仓悖论是一个容易引起混淆的悖论，在检查平面波的波峰和波谷时也会出现类似的陷阱。

另外，如果你看上面的平面波，它可以写成：

埃 （ x ） = 埃 0 埃 - 我 钾 μ X μ

E(x) = E_0e^{-ik_{\mu}x^{\mu}}

其中相位现在明显是洛伦兹不变的标量：

φ （ X μ) = 钾 μ X μ = - (钾 ⃗ \cdot X ⃗ -ωt) ​ ​

\phi(x^{\mu}) = k_{\mu}x^{\mu} = -(\vec k \cdot \vec x – \omega t)

即：所有框架都同意波峰就是波峰，零交叉就是零交叉。

综上所述，相对论多普勒公式不过是洛伦兹对零4矢量进行变换的两端，这似乎是一个过于抽象的数学概念。

不过，这有一个物理解释。在光子描述中 $k_{μ}$ k_{\mu}被 4 动量取代：

页 μ = (E / C ， 页 ⃗ ）

p_{\mu} = (E/c, \vec p)

并且 Tx 或 Rx 速度由 4 个速度定义：

你 μ = （ γ γ ​ ​ 五 ⃗ ）

u_{\mu} = (\gamma c, \gamma \vec v)

以及 4 动量：

磷 μ = 米 你 μ

P_{\mu} = Mu_{\mu}

在哪里 $M ≫ E_{γ} / c^{2}$ M\gg E_{\gamma}/c^2是仪器的大质量，要求辐射的发射/吸收的动量传递与仪器的4加速度正交，这将重现相对论多普勒频移。

这是必需的，以便：

磷 2 / C 2 = 米 2

P^2/c^2 = M^2

发射或吸收事件之前和之后。

（我在 PSE 的某处发布过的那个方法，也可以处理由大质量玻色子、非弹性过程和反冲效应引起的多普勒频移）。

狭义相对论 – 维基百科指出，无论源还是接收器是静止的，相对论多普勒效应都是相同的。这是真的吗？ – Physics

最佳答案
4

狭义相对论 – 维基百科指出，无论源还是接收器是静止的，相对论多普勒效应都是相同的。这是真的吗？ – Physics

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