Question

首先，包含有关欧拉多面体公式的信息。如果您查看第 47-49 页，您会看到庞加莱证明了欧拉多面体公式，并且其中出现以下信息。

同源球体的性质是 $B_{k} = Z_{k}$ B_k = Z_k，即 $k$ k-电路是边界 $k$ k链。包容性 $B_{k} \subseteq Z_{k}$ B_k \subseteq Z_k说 $\partial_{k + 1} \partial_{k} \equiv 0$ \partial_{k+1}\partial_k \equiv 0。

由此可见，庞加莱对欧拉多面体公式的证明，与同调球有某种联系。

如果你读过，

早期拓扑学家希望通过寻找不变量来尝试找到区分空间的方法：可以分配给每个空间的数字或其他数学对象。理想情况下，具有相同不变量的两个空间将是同一个空间，而具有不同不变量的两个空间将是不同的空间。庞加莱提出了贝蒂数，这是一种非正式的方法来对空间中不同维度的洞进行分类，以及扭转系数，它可以跟踪扭曲程度。在 1900 年的一篇论文中，庞加莱推测这些贝蒂数和扭转系数（今天也称为同源性）可以告诉你一个空间是否是一个球体。

当庞加莱思考同源性时，我们可以看到他也在思考球面。

当然，这本书也解释了同源性起源于黎曼的连通性和贝蒂的高维概括，但在阅读上述论文和文章时，我想知道欧拉的多面体公式是否也促成了同源性的出现。

Accepted Answer

欧拉多面体公式的拓扑证明是贝蒂数的交替和等于单纯形数的交替和这一普遍证明的一个特例，这一证明是 1925 年之后证明的霍普夫迹公式的结果，当时霍普夫从诺特那里学会了将同源性视为阿贝尔群，而庞加莱则将贝蒂数和扭转系数视为数值不变量，而不是代数对象。我猜想，如果想要证明霍普夫迹公式，就很难避免将链和同源性视为阿贝尔群（或更好的向量空间），所以我不清楚庞加莱如何得到欧拉多面体公式的拓扑证明。而且当时还不知道贝蒂数的拓扑不变性。（但也许有一个更简单的论证仅针对 2 球面？）

编辑（看过霍普夫的论文后）在霍普夫的论文（哥廷根 1928）中，他将这个公式称为欧拉-庞加莱公式，因此显然他将其归功于庞加莱。该论文实际上给出了更一般的 Lefschetz 不动点公式的证明。他在引言中的致谢翻译如下：“我对欧拉-庞加莱公式这一推广的原始证明可以在 1928 年夏天我在哥廷根的一次演讲中通过使用 E. Noether 小姐的影响下的群论概念变得更加透明和简单。下面我将介绍这个改变后的证明。”

+1 赞同这个答案。这让我做了一些搜索，找到了 Hirzebruch 的一篇非常好的文章Emmy Noether and topology。他引用了 Hopf 的文章Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel。然而，Hopf 的评论对我来说并不透明 – 也许他在 Noether 之前就有了欧拉公式的一个版本，但他只在 Noether 之后才有一个很好的证明？？ — 
Hilton 和 Pedersen 在中将单纯复形的欧拉特征数的定义归功于庞加莱，但表示在这种情况下欧拉公式的证明遵循同源性的拓扑不变性。（这在庞加莱时代当然是未知的。） —

软问题 – 同源性是否受到欧拉多面体公式的影响？ – MathOverflow

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