什么团体GGG包含一个元素GGg使得克/ (克 成为中心）= 1G/（G 成为中心）=1G/(g\text{ is made central})=1（或等价地[ G, G ] = G[G，G]=G[g,G]=G， 在哪里[ G, G ] : = ⟨ [ g, h ] : h ∈ G ⟩[G，G]：=⟨[G，H]：H∈G⟩[g,G]:=\langle[g,h]\colon h\in G\rangle)？
必要条件是GGG是一个完美群。充分条件是GGG是非阿贝尔单群。然而，似乎这两个条件都不完整。
我很高兴地假设GGG是有限生成和有限呈现的（实际上，我很高兴假设GGG是333-流形群）。还欢迎其他有趣的必要和充分条件。
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最佳答案
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我希望我能正确地解释所要问的问题。
我将使用XXx代替GGg表示具有以下属性的杰出元素[ G , x ] = G[G，X]=G[G,x] = G，假设有这样一个元素，我会假设[ G , x ][G，X][G,x]表示子群⟨ [ G, x ] : g∈G⟩ ，⟨[G，X]：G∈G⟩，\langle [g,x]: g \in G \rangle,这是该符号的通常的群论解释。
那么，我们是不是G = [ G , x ]G=[G，X]G = [G,x]当且仅当两者GGG是完美的，并且GGG由下式共轭生成XXx？
如果GGG由下式共轭生成XXx， 我们有G = ⟨ x ⟩ [ G , x ] ,G=⟨X⟩[G，X]，G = \langle x \rangle [G,x],自从XG= x (X− 1XG) ∈ x [ G , x ]XG=X（X−1XG）∈X[G，X]x^{g} = x(x^{-1}x^{g}) \in x[G,x]（和[ G , x ][G，X][G,x]是GGG通过标准交换子恒等式）。
因此如果GGG由共轭生成XXx和[ G , x ][G，X][G,x]是GGG， 然后GGG具有非平凡循环同态像，并且并不完美。
因此如果GGG是完美的，并且由以下共轭生成XXx， 然后G = [ G ，x ] 。G=[G，X]。G = [G,x].
另一方面，如果G = [ G ，x ] ，G=[G，X]，G = [G,x],那么当然G = [ G , G ] ，G=[G，G]，G = [G,G],所以GGG非常完美。另外，G = ⟨X− 1XG：G∈G⟩ ，G=⟨X−1XG：G∈G⟩，G = \langle x^{-1}x^{g}: g \in G \rangle,所以当然G = ⟨XG：G∈G⟩G=⟨XG：G∈G⟩G = \langle x^{g} : g \in G \rangle， 和GGG由下式共轭生成XXx。
总结一下，完美组合GGG满足G = [ G , x ]G=[G，X]G = [G,x]对于一些x∈GX∈Gx \in G当且仅当GGG由其一个共轭类生成。
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这是有限完美群的证明。这可能就是 Dave Benson 所想的。
让GGG是一个有限完美群。如果G≅G1×G2G≅G1×G2G \cong G_1 \times G_2对于非平凡的G1G1G_1和G2G2G_2然后通过归纳得出X我∈G我X我∈G我x_i \in G_i使得G我= [G我，X我]G我=[G我，X我]G_i = [G_i, x_i]和G = [G1，X1] [G2，X2] = [ G ，（X1，X2）]G=[G1，X1][G2，X2]=[G，（X1，X2）]G = [G_1, x_1][G_2, x_2] = [G, (x_1, x_2)]，因此我们可以假设GGG不是直接产品。如果GGG那么就很简单G = [ G , x ]G=[G，X]G = [G, x]对于任何非平凡的x∈GX∈Gx \in G，所以我们也可以假设GGG并不简单。让否◃ G否◃GN \triangleleft G是一个最小正规子群。然后通过归纳法得到n n∈G / NX否∈G/否xN \in G/N使得绿/无= [绿/否, x N]G/否=[G/否，X否]G/N = [G/N, xN]， IE，G = M否G=米否G = MN在哪里米= [ G ，x ]米=[G，X]M = [G, x]我们不能米∩否= 1米∩否=1M \cap N = 1自从GGG不是直接产品，因此，通过最小化否否N我们必须米∩否=否米∩否=否M \cap N = N因此G = MG=米G = M。
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实际上我只是想消除最大正规子群的交集。在完美有限群中，商是简单群的直接乘积，它由任何元素的共轭生成，只要这些元素不是任何分量中的恒等元。
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这种观点（对于有限群）让我想起了 Gasch_utz 定理（不直接相关）：有限群GGG具有忠实的复不可约特征当且仅当GGG由一个GGG—共轭类。
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什么是克/ (克 是中心的）= 1G/（G 是中心）=1G/(g\text{ is central})=1是什么意思？[ G, G ] = G[G，G]=G[g,G]=G你的意思是G = { [克, h ] : h ∈ G }G={[G，H]：H∈G}G=\{[g,h]:h\in G\}？
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我猜这意味着⟨ [ G, h ] : h ∈ G ⟩⟨[G，H]：H∈G⟩\langle [g,h] : h \in G \rangle，但这一点应当澄清。
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对于有限群来说，完美群就足够了，但无限完美群可以是其真正规子群的并集。
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@DaveBenson 一个例子是y m (ℵω）年代是米（ℵω）\mathrm{Sym}(\aleph_\omega)所有排列的支持度严格小于ℵωℵω\aleph_\omega。有有限生成的例子吗？
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我不太明白这个问题的本意。但寻找有限生成完美群是一个著名的开放性问题（例如，在 Baumslag 的列表中）GGG使得GGG通常不是由任何单个元素生成的。正如这里已经提到的，很容易检查没有有限的GGG给出一个例子。
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