从您的评论来看，您的问题似乎与“忽略其惯性”要求有关。忽略惯性的一种方法（大致）是想象每过一秒钟，所考虑的水体就会暂时停止（即，由于某种神秘的外部影响，其速度降至零）> 然后它的惯性为零，并且由于重力和其所在表面的法向力的共同作用，它将加速到最陡峭的下降方向 – 因此，水在再次停止之前的平均速度将朝着最陡峭的下降方向。在这种情况下，水将非常接近（并且非常缓慢地）沿着最陡峭的下降路径流动。

在更现实的情况下，水流永远不会停止，但与河床的摩擦力和水的粘度会产生一种与水的现有运动相反的摩擦力，即沿其流动方向流动。因此，水流永远不会加速到特别高的速度，其动量始终受到控制。除了自由落体时，例如从瀑布上掉下来后，水流将比无摩擦物体“流动”得慢得多，其运动方向将由局部力/加速度决定。

如果将摩擦力和粘度设为极限，例如从山坡上流下的蜂蜜，其速度将始终接近于零，因此在确定下山路径时，其动量几乎可以完全“忽略”。蜂蜜几乎会一直沿着最陡峭的下降线流动。

如果你采用一种摩擦和粘度为零的材料（例如，完全光滑且有弹性的滚珠轴承的流动），那么“流体”将继续加速，其动量将继续增长，你不能在确定流动路径时“忽略”动量。这种材料可能会遵循一条远离简单最陡下降的路径。

水介于两者之间，但实际上摩擦力和粘度对减缓水流有显著影响（例如，你不会看到山间溪流以每秒几十米的速度流动）。因此，在初步估计中，你可以忽略水的动量来预测它的流向。

为什么“水往下流，总是沿着最陡的路径流”是一个常见的近似值？

… 其中一个假设应该是“没有惯性”，但我不确定如何用数学准确地表达这一点。

…

d2d吨2p ∝ −∇页Fd2d吨2页∝−∇页F

\frac{d^2}{dt^2}p \propto – \nabla_p f
…

dd吨p ∝ −∇页Fdd吨页∝−∇页F

\frac{d}{dt}p \propto – \nabla_p f

…我理解力矢量指向下坡的原因。我也理解这只是一个近似值。然而，网上到处都说，如果我们忽略惯性，水通常会沿着最陡的路径向下流动。

在流体动力学中，“惯性力”或“惯性力”一词是指运动方程中类似于

ma\;,

在点粒子的经典力学中。

在流体动力学中，我们最终使用“惯性”这个术语，因为米米m是“惯性”质量。

例如，流体流速的 Navier-Stokes 方程你⃗ 你→\vec u好像

\underbrace{\rho\left(\frac{\partial \vec u}{\partial t} + \vec u\cdot \vec \nabla \vec u
\right)}_{inertial\;part}
=
\mu \nabla^2\vec u – \vec \nabla P – \rho\vec\nabla \phi \;,\tag{1}

其中左侧是“惯性部分”，右侧第一项是粘性部分，右侧第二项是由于流体压力引起的，右侧最后一项是密度乘以势能梯度（类似于与函数梯度成比例的某个东西F（x , y）F（X，是）f(x,y)，在你的问题中，因为在你的例子中，势能是指向 z 方向的引力，所以与FFf。

您会发现，流体速度相对于时间的唯一导数位于方程 (1) 的惯性部分。

因此，粗略地讲，忽略压力，当惯性部分占主导地位时，我们有：

\frac{du}{dt}\sim -\nabla \phi \tag{2}

再次粗略地计算，忽略压力，当惯性部分可以忽略时，我们有：

\nabla \phi \sim \frac{\mu}{\rho L^2}u\;, \tag{3}

在哪里大号大号L是流体的某个平均长度尺度，我用它来代替这个粗略近似中速度的空间导数。

如果我们写

u\propto \frac{dp}{dt}

那么我的方程 (2) 看起来类似于你的第一个方程，而我的方程 (3) 看起来类似于你的第二个方程。

注意：我们应该清楚“最陡路径”的含义。下图中，有两条可能的路径。它们在相同的总距离内下降的量相同，因此从技术上讲它们具有相同的平均陡度。但是，我们可以通过将“最陡路径”定义为所考虑位置下游具有最大初始坡度的路径来加以区分。

图中蓝色和红色路径代表两条明渠高架桥，它们具有相同的表面粗糙度、水横截面积和初始水头高度。有趣的是，尽管红色路径的路径最直且总路径长度最短，但蓝色路径中的流量大约是红色路径中流量的 3 倍。蓝色路径的最后一段坡度较缓，但可以通过加宽该段来弥补。该段可能是一条天然河流，河岸平缓上升，可以容纳额外的流量。请注意，蓝色路径中的流量大于红色路径中的流量，尽管蓝色路径陡峭部分的水头差异只有 3 个单位，而蓝色路径的总水头差异为 4 个单位。

我认为这个问题可以先用电路类比来分析，然后再回到地质学中地貌中的水流，这显然有一些不同。考虑一个简单的电路，它有一个 12 伏电池和两个并联电阻器 (A 和 B)，其中 A 的电阻为 3 欧姆，B 的电阻为 6 欧姆。总电阻由以下公式给出：

R_{AB} = \frac{R_A R_B}{R_A+R_B} =\frac{18}{9} = 2 \Omega.由此可知流过两个电阻的电流为

I_{AB} = \frac{V_{AB}}{R_{AB}} = \frac{12}{2} = 6 A.

流过电阻A的电流为五乙​/RA= 12 / 3 = 4一五A乙/RA=12/3=4AV_{AB}/R_A = 12/3 = 4 A流过 B 的电流为 五乙​/R乙= 12 / 6 = 2A 。​五A乙/R乙=12/6=2A。V_{AB}/R_B = 12/6 = 2 A.

显然，在这个类比中，电流代表水流，电压或电势代表给定点的地形高度。6 欧姆电阻可以看作是两个串联的 3 欧姆电阻，B 路径中每个电阻上的电压降是 A 电阻上电压降的一半，因此可以认为 B 路径的坡度小于 A 路径。（电阻每单位长度上的电势降较小。）

这里要注意的重要一点是，虽然大部分电流会流过电阻最小的电阻器（类比起来，也是最陡峭的路径），但并非所有电流都会流过电阻器 A。因此，如果我们所说的“电流”是指所有电流，那么“电流选择阻力最小的路径”这一表述并不完全正确。如果所有电流都只流过电阻器 A（阻力最小的路径），则电路中的总电流只有 4 安培。看来，电流不是选择阻力最小的路径，而是选择所有可用路径，以最大化单位时间内的总电流。

现在回到真实景观中河流的情况。想象我们有一条河流直接向南流动。它流入一个湖泊，那里有一座天然大坝阻止河流继续向南流动。（由于这个障碍，河流向南的动量不再是一个因素）假设两条河流从湖中向东和向西流出，向东的河流沿着更陡的斜坡流下，因此流经东河的流量大于西河的流量。到目前为止尚未考虑的一个因素是侵蚀。东河的流速更快，导致东河的侵蚀程度更大，使其比西河更快地变宽变深。这进一步增加了东河的流量，并倾向于降低湖水水位。湖水水位的下降可能会低于西河的深度，从而完全切断西河的水流，因此整条河流的最终路线是通过更陡的东路线。侵蚀是导致真实景观中真实河流最终倾向于选择最陡峭的路径的关键因素。如果一条河流恰好分成两条路径，一条路径越过硬岩，另一条路径越过软岩，软岩的侵蚀速度会更快，使那条路径更深更宽，直到所有的水最终都顺着软岩中形成的更陡峭的路径流下。

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我感觉 OP 对更抽象的数学解释比对实际的现实世界场景更感兴趣，因为现实世界中存在侵蚀等复杂情况。考虑一滴水落在倾斜的疏水平面上。我们可以考虑平面垂直的极端情况。问题是为什么水滴会直接向下而不是水平或向上？直观地看，答案似乎很明显，非正式地讲，如果存在重力势场，我们可以为场中的每个点分配一个梯度矢量，粒子将始终沿着从较高电位到较低电位的梯度方向加速，但其实际未来轨迹也将取决于其当前速度。如果液滴具有显着的初始水平速度 dx/dt，并且重力使液滴在 y 方向上加速，则随着时间的推移，其速度矢量会更多地向下坡 y 方向旋转。如果有阻力并且 dx/dt 随着时间的推移变小，速度矢量会更快地向下坡 y 方向旋转。由于 OP 要求我们忽略惯性，dx/dt 趋于零，唯一可能的速度矢量是直线下坡。

更正式的答案是，液滴会选择。简而言之，如果我们考虑液滴从 A 到 B 可能采取的不同路径，则任何给定路径的作用力 (S) 等于动能的积分减去势能对时间的积分。要找到 KE 和 PE 作为时间函数，我们首先需要距离（我将用其表示高度）和速度的运动方程。它们是：

h =五0t − 1 / 2克吨2H=五0吨−1/2G吨2h = v_0 t – 1/2 g t^2和v =五0+克吨五=五0+G吨v=v_0 + g t。

PE 和 KE 的公式为：

磷埃=米克​H磷埃=米GHPE = mgh和钾埃= 1 / 2米五2钾埃=1/2米五2KE = 1/2 m v^2。

将 h 和 v 作为时间函数的方程代入 PE 和 KE 方程中可得出：

磷埃（t ）=米克​（− 1 / 2克吨2) = − 1 / 2米G2吨2磷埃（吨）=米G（−1/2G吨2）=−1/2米G2吨2PE(t) = mg (-1/2 g t^2) = -1/2 m g^2 t^2和

钾埃（吨）= 1 / 2米（克吨）2= 1 / 2米G2吨2钾埃（吨）=1/2米（G吨）2=1/2米G2吨2KE(t) = 1/2 m (g t)^2 = 1/2 m g^2 t^2

我遗漏了五0五0v_0因为我将使用水滴的初始速度为零。这大大简化了事情。

现在我们找到这个动作：

年代=∫吨0钾埃（吨）天t −∫吨0磷埃（吨）天吨年代=∫0吨钾埃（吨）d吨−∫0吨磷埃（吨）d吨S = \int_0^t KE(t) dt – \int_0^t PE(t) dt

年代=∫吨0( 1 / 2米G2吨2）dt −∫吨0（− 1 / 2米G2吨2）d吨年代=∫0吨（1/2米G2吨2）d吨−∫0吨（−1/2米G2吨2）d吨S = \int_0^t (1/2 m g^2 t^2) dt – \int_0^t ( -1/2 m g^2 t^2) dt

年代= 1 / 3G2米吨3年代=1/3G2米吨3S = 1/3 g^2 m t^3

任何其他路径都会产生更高的 S 值。

计算对角线路径的 S 更为复杂。对于垂直倾斜板和非垂直路径，需要和初始非零速度的方程。对于倾斜平面，必须使用重力加速度因子的余弦。

扩展@Aliens 的回答，加速度表示速度随时间的变化。速度又表示位置随时间的变化。由于力（因此加速度）总是将速度朝着高度变化最剧烈的方向改变，因此位置的变化沿着最剧烈的路径向下移动。

如果您想要更“根本”地了解物理系统中遵循特定路径的原因，请查阅最小作用原理。

水流过表面是因为表面的法向力。倾斜表面的法向力可分解为水平和垂直分量。水平分量决定水流的方向。法向力的水平分量始终指向正下方– 在任何一点加速水滴的力始终使其直接加速向下。如果水滴已经具有速度，则可能会朝其他方向移动，但斜坡上的水只能朝下坡方向加速，无法朝其他方向加速。

只有忽略惯性时，水才会选择最陡的路径。这是因为势能的梯度就是力。因此速度与高度梯度的方向不同，但加速度的方向相同。

您的问题重点在于液滴。实际上，这与单个液滴几乎没有关系。单个液滴很早就会熄灭。

最初，水会选择几条接近最陡路径的路径。表面张力、吸收率、温度表面粗糙度等因素都很重要。

最早的路径并不一定最陡峭，随着时间的推移，水流将逐渐找到最陡峭、最直接的路径。

经过的时间是重要的早期参数。流速和情况的其他动态特性也很重要。

经过一段时间的流程后，我们可以写：

路径 = fn（重力、惯性、随机混沌分量、偏转和翻滚、温度、表面张力）。

现在如何对此进行建模，至关重要的是必须了解阻碍流动的因素，您不能忽略惯性。就像执行玩具动量被转移（在这种情况下反射回来）一样，为什么不建立一个模型并引入随机惯性/动量事件呢。

必须了解阻碍流动的机制，没有这些机制，流动将达到无限速度。我怀疑惯性/动量不是唯一的机制。

之前，我读过一个答案，它建议用电路进行类比，但我认为这不是一个很好的类比，水是不可压缩的——没有电感或电容元件，流量限制中的阻力是不完整的。

这是一个非常有趣的问题，我希望你能解决它并最终得到一个非常接近真实情况的方程。

“水流向下坡时，会选择最陡的路径”这一说法是基于重力势能原理的常见近似。水流动时，会自然地流向势能较低的区域，这通常意味着它会沿着坡度最大的路径流动。这是因为：

重力：水受重力拉动，因此它自然会寻找最陡的下降路径以快速到达较低的海拔。能量最小化：水流倾向于最小化其势能。最陡的下坡路径使其能够最有效地实现这一目标。流体动力学：在自然系统中，最陡的下降路径通常对应于水流最直接、最快的路线，从而减少阻力并提高效率。这一原理有助于在水文学和地理学等各个领域模拟水流并了解排水模式。