Question

考虑一下这个群体 $PSL (2, C)$ \operatorname{PSL}(2,\mathbb C)通过黎曼球的莫比乌斯变换起作用。众所周知，这种作用可以扩展到对单位球的作用，该作用相对于双曲度量是等距的。为了证明这一点，你将每个莫比乌斯变换写成球面反演的乘积，并表明每个变换都通过等距作用。

我的问题是：有人能指出一个参考资料，其中严格而明确地完成了这项工作（或解释计算）吗？我读到的所有证明，球面反演通过双曲度量对单位球的等距作用，都留作“练习”，我无法做到。我正在教一门这方面的课程，但需要自己理解……

Answer 1

或许，您可以在瑟斯顿 (Thurston) 关于双曲三维流形的笔记中找到对此的讨论，或者在他的学生的一些阐述中找到。

然而，你所要求的其实很简单：考虑向量空间 $V$ V的 $2$ 2-经过- $2$ 2因此，埃尔米特对称矩阵 $A \in M_{2} (C)$ A\in M_2(\mathbb{C})在于 $V$ V当且仅当 $A = A^{*}$ A = A^*，在哪里 $A^{*}$ A^*表示的共轭转置 $A$ A。群组 $S L (2, C)$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})作用于 $V$ V经过 $g \cdot A = g A g^{*}$ g\cdot A = g A g^*，并保留（实值）二次形式 $Q$ Q被定义为 $Q (A) = det (A)$ Q(A) = \det(A)。自从

问 （ （ a + b 是 ¯ 是 一个 -b ​ ） ） = A 2 - b 2 -z ​ 是 ¯ ，

Q\left(\begin{pmatrix}a+b & z\\ \bar z & a-b\end{pmatrix}\right)
= a^2 – b^2 – z\bar z,

类型 $Q$ Q是 $(1, 3)$ (1,3)。

请注意，此操作 $S L (2, C)$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})在 $V ≃ R^{1, 3}$ V\simeq\mathbb{R}^{1,3}无效，因为 $\pm I_{2} \in S L (2, C)$ \pm I_2\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})行为微不足道。然而，这是仅有的两个行为微不足道的元素，因此这是对 $P S L (2, C) = S L (2, C) / {\pm I_{2}}$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C}) = \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})/\{\pm I_2\}在 $V$ V. 按维度计数，这种表示 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})是身份部分 $O (Q) ≃ O (1, 3)$ \mathrm{O}(Q) \simeq \mathrm{O}(1,3)。

现在，我们可以识别双曲 $3$ 3-空间 $H^{3}$ H^3矩阵集 $V$ V决定因素 $1$ 1和正迹，即 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})-轨道 $I_{2} \in V$ I_2\in V. （请注意 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})-稳定剂 $I_{2} \in V$ I_2\in V是 $S U (2) / {\pm I_{2}} ≃ S O (3)$ \mathrm{SU}(2)/\{\pm I_2\}\simeq \mathrm{SO}(3)）或者，可以识别双曲 $3$ 3-空间与（真实）空间 $1$ 1维子空间 $V$ V在该 $Q$ Q是正定的。这样， $H^{3}$ H^3是 ${R P}^{3} = P (V)$ \mathbb{RP}^3 = \mathbb{P}(V)，这是 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})在其自然作用 $P (V)$ \mathbb{P}(V)。

现在考虑集合 $N$ N的 $1$ 1维子空间 $V$ V在该 $Q$ Q消失。这是双曲空间的边界 ${R P}^{3}$ \mathbb{RP}^3. 不难证明 $ℓ \in N$ \ell\in N由形式为

（ 页 页 ¯ 问 页 ¯ 页 问 ¯ 问 问 ¯ ） 。

\begin{pmatrix}p\bar p & p\bar q\\ q\bar p & q\bar q\end{pmatrix}.

虽然这并不能确定 $(p, q) \in C$ (p,q)\in\mathbb{C}独特的是，它确实决定了 $[p, q] \in {C P}^{1}$ [p,q]\in\mathbb{CP}^1反之亦然， $[p, q] \in {C P}^{1}$ [p,q]\in\mathbb{CP}^1确定 $ℓ \in N$ \ell\in N。

因此， $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})流畅有效地作用于线的空间 ${R P}^{3}$ \mathbb{RP}^3在该 $Q$ Q是非负的，它是一个封闭的 $3$ 3-球进 ${R P}^{3}$ \mathbb{RP}^3因此内部的作用是等距群的（恒等分量） $H^{3}$ H^3边界上的动作是标准动作 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})在 ${C P}^{1}$ \mathbb{CP}^1，即黎曼球面。

是的，从某种意义上来说，它确实“只是代数”。 —

Answer 2

这在高维空间中也更普遍地成立，我需要关于所谓的 AdS/CFT 对应关系这一基本事实的类似参考：球体的全局保角映射 $S^{n}$ S^n与球的等距一一对应 $B^{n + 1}$ B^{n+1}使用双曲度量。

我发现最有用的参考资料是：

JG Ratcliffe，《双曲流形基础》，数学研究生教材 149 (Springer，纽约，2006)。请特别参阅定理 4.5.2。

和

JBWilker，“逆向几何”。《几何脉络》，C. Davis、B. Grünbaum 和 FA Sherk 编，第 379-442 页（Springer，纽约-柏林，1981 年）。

同样令人高兴的是，类似的声明仍然有效 $p$ p-adics。请参阅我的评论文章

，p-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl. 10 (2018), no. 4, 233-252

或者。

顺便说一句，我是从 Ryan Budney 对相关问题的回答中了解到 Ratcliffe 的书的

是的，它之所以也适用于其他局部域是因为“它只是（度量）代数”:) — 
Ratcliffe 的定理 4.5.2 缺少一些 B 上的条形，对吗？（，）。 —

Answer 3

MR0725161 Ahlfors，Lars V. 多维莫比乌斯变换，明尼阿波利斯，明尼苏达州，1981 年。

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1

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我看过这个，我认为这太过于计算化了，而不是仅仅承认它是关于同质空间的 $G / K$ G/K。说真的，这是让我相信非常漂亮的几何/事物的公式化描述（与群论（同质空间）相反）毫无帮助的来源之一。同样，W. Rudin 的“单位球的复杂分析” $C^{n}$ C^n“ 永远不会透露它的自同构群……是一个群。
\endgroup

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Answer 4

另一个采用非常明确的观点（即完全矩阵计算和明确的圆逆）的参考文献是 Beardon 的，它推导出 $n$ n尺寸来自以下有用的公式：如果 $σ$ \sigma是半径为 $r$ r和中心 $a$ a，然后我们可以估计 $σ$ \sigma 经过

| σ （ 是 ) - σ （ x ） | | 是 -x | ​ = r 2 | x - a | | y - 一 |

\frac{|\sigma(y) – \sigma(x)|}{|y-x|} = \frac{r^2}{|x-a||y-a|}

（这是第 26 页上的公式 3.1.5）。现在观察扩展 $\tilde{ϕ}$ \tilde{\phi}到 $R^{n + 1}$ \mathbb{R}^{n+1} 任何反转 $ϕ$ \phi在 $R^{n}$ \mathbb{R}^n是半径为 $r$ r以……为中心 $a$ a 和 $a_{n + 1} = 0$ a_{n+1} = 0 ，并明确地写下圆反转公式，得到 $(n + 1)$ (n+1)第坐标 $\tilde{ϕ} (x)$ \tilde{\phi}(x) 是

r 2 X n + 1 | x - 一 | 2 。

\frac{r^2 x_{n+1}}{|x-a|^2}.

但这个公式几乎 $x_{n + 1}$ x_{n+1} 乘以上面显示的第一个公式，这种相似性表明

| φ ~ （ 是 ) - φ ~ （ X ） | 2 φ ~ （ X ） n + 1 φ ~ （ 是 ） n + 1 = r 4 | 是 - x | 2 | x - 一 | 2 | 是 - 一 | 2 r 2 X n + 1 | x - 一 | 2 r 2 是 n + 1 | 是 - 一 | 2 = | 是 - x | 2 X n + 1 是 n + 1

\begin{align*}
\frac{|\tilde{\phi}(y)-\tilde{\phi}(x)|^2}{\tilde{\phi}(x)_{n+1} \tilde{\phi}(y)_{n+1}} &= \frac{r^4 |y-x|^2}{|x-a|^2|y-a|^2 \frac{r^2 x_{n+1}}{|x-a|^2} \frac{r^2 y_{n+1}}{|y-a|^2}}\\
&= \frac{|y-x|^2}{x_{n+1} y_{n+1}}
\end{align*}

即表格 $| y - x |^{2} / x_{n + 1} y_{n + 1}$ |y-x|^2/x_{n+1} y_{n+1} 在球面反演的庞加莱扩展下不变。平面反射的扩展也是如此，由于庞加莱扩展是同态，我们得到每个莫比乌斯变换的扩展都保留该形式；但形式只是双曲度量：

\sum k = 0 否 | γ （ 吨 钾 ) -γ ​ （ 吨 k - 1 ） | 2 γ （ 吨 钾 ） n + 1 γ （ 吨 k - 1 ） n + 1 - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt \to \int | d γ （ 吨 ） | γ （ 吨 ） n + 1

\sum_{k=0}^{N} \sqrt{\frac{|\gamma(t^k) – \gamma(t^{k-1})|^2}{\gamma(t^k)_{n+1} \gamma(t^{k-1})_{n+1}}} \to \int \frac{|d\gamma(t)|}{\gamma(t)_{n+1}}

（我在这里写下了曲线长度的近似值 $γ$ \gamma 通过分区 $t^{0}, \dots, t^{N}$ t^0, \dots, t^N ：和式下的函数显然是上面不变形式的平方根，并且它趋近于右边的积分，其中被积函数是双曲度量的通常表达式 $| d x | / x_{n + 1}$ |dx|/x_{n+1} ）。

这个计算可以在 Beardon 的 34-35 页找到（我添加了一些细节）。在这本书的这个部分，他只完成了 Moebius 映射作为反射乘积的结构，也就是说，它非常实用，基本上不需要“重型”机器。这种方法的缺点是，结果会凭空出现，而不像其他来自对称空间和李群的方法，例如显示 $P S L (2, C)$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C}) 自然同构于 $O (2, 1)$ O(2,1) 作为李群，因此允许通过等距作用 $H^{3}$ \mathbb{H}^3 然后你就可以看出这是分数线性变换的通常动作。

+1，感谢你的回答。另一个有趣的事情是，基本恒等式满足 $σ$ \sigma看起来和 $p$ p-adics 如果定义向量范数为 $Q_{p}^{d}$ \mathbb{Q}_p^d经过 $‖ x ‖ = max_{i} | x_{i} |_{p}$ \|x\|=\max_i|x_i|_p，以及单位球面反演 $σ (x) = ‖ x ‖^{2} x$ \sigma(x)=\|x\|^{2}x。这 $+ 2$ +2代替 $- 2$ -2因为 exponent 不是拼写错误。我在回答中提到的 YouTube 演讲中对此进行了详细说明。 —

关于莫比乌斯变换扩展到双曲三维空间等距变换的证明的参考 – MathOverflow

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