Question

我正在尝试解决

假设 A 为 20000×20000 矩阵，除主对角线上的素数 2、3、5、7、…、224737 和所有位置上的数字 1 外，其余元素均为零 $a_{i j}$ {\displaystyle a_{ij}}和 $| i - j | = 1, 2, 4, 8, \dots, 16384$ {\displaystyle |i-j|=1,2,4,8,\dots ,16384}的 (1, 1) 项是什么 $A^{- 1}$ {\displaystyle A^{-1}}？

Clear["Global`*"];
matrixSize = 20;
(*Generate the prime numbers along the diagonal*)
primes = Prime[Range[1, matrixSize]];

(*Create a sparse diagonal matrix with the primes on the diagonal*)
A = SparseArray[Band[{1, 1}] -> primes, {matrixSize, matrixSize}];
A

(*Create the off-diagonal elements with 1s*)
kSet = Table[2^m, {m, 0, Floor[Log[2, matrixSize - 1]]}];
offDiagonals = 
  Flatten[Table[{Band[{1 + k, 1}] -> 1, Band[{1, 1 + k}] -> 1}, {k, 
     kSet}]];

(*Add the off-diagonal elements to the matrix*)
A = A + SparseArray[offDiagonals, {matrixSize, matrixSize}];
(A = Normal@A) // MatrixForm
Dimensions@A
(*Compute the inverse of the matrix A*)
Ainv = Inverse[A, Method -> "DivisionFreeRowReduction"];

(*Extract the (1,1) entry of the inverse matrix*)
Ainv[[1, 1]]

如何在 Mathematica 中获取大尺寸矩阵（例如 20000）的逆矩阵？

有没有更有效的方法？比如奇异值分解 (SVD) (LAPACK: GESVD)？

斯特拉森算法（及相关的快速矩阵乘法方法）
带部分枢轴的分块 LU 分解
乔莱斯基分解（用于正定矩阵）
迭代方法（针对大型稀疏矩阵）
近似方法（适用于非常大的矩阵）
并行和基于 GPU 的实现
稀疏逆方法

Accepted Answer

正如你在问题的微小实例中观察到的那样，矩阵Ainv是密集的。因此你需要 $O ({m a t r i x S i z e}^{2})$ O(\mathrm{matrixSize}^2)内存来存储结果。这很快就变得不可行。此外，计算逆矩阵的所有元素可能比 $O ({m a t r i x S i z e}^{3})$ O(\mathrm{matrixSize}^3)，特别是当您使用整数时。

一种更快的方法是使用具有机器精度数字的稀疏直接求解器：

S = LinearSolve[N[A]];

提取条目 $A_{i j}^{- 1} = e_{i}^{T} A^{- 1} e_{j}$ A^{-1}_{ij} = e_i^T A^{-1} e_j你可以做

UnitVector[matrixSize, i] . S[ UnitVector[matrixSize, j] ]

或者

S[ UnitVector[matrixSize, j] ][[i]]

这很可能需要远远少于 $O ({m a t r i x S i z e}^{2})$ O(\mathrm{matrixSize}^2)时间。（它到底有多大程度上取决于矩阵的稀疏结构。）

这可能不是最准确的方法。与0.7250783462上发布的“解决方案”相比，相对误差为。但解决方案仅给出 10 个有效数字，因此无法说我的解决方案到底有多好。9.43361*10^-11

numeric – 如何在 Mathematica 中获取大尺寸矩阵的逆矩阵？ – Mathematica

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