我想知道单位向量的数量界限五我五我v_i在RnRn\mathbb{R}^n使得⟨五我，五杰⟩ = c⟨五我，五杰⟩=C\langle v_i, v_j\rangle=c对全部i ≠ j我≠杰i\ne j。我知道这可以通过等角线的数量来限制，但我找不到更精细的结果。同样，给定一组等角线，如何提取具有相同成对内积的最大向量集？
\endgroup
3
最佳答案
2
上限是n + 1n+1n+1，通过正则单纯形的顶点实现000在中心。这在 Iosef Pinelis 的回答中是隐含的，但让我们明确地说明一下。（看起来 Iosef 回答时问题可能不太清楚。）
给定任何米米m向量五1五1v_1，五2五2v_2，…，五米五米v_m在RnRn\mathbb{R}^n，Gram 矩阵定义为内积矩阵G伊=五我⋅五杰G我杰=五我⋅五杰G_{ij} = v_i \cdot v_j. Gram 矩阵始终是半正定的，秩为≤ n≤n\leq n. 相反，给定任何正半定对称米×米米×米m \times m矩阵GGG等级≤ n≤n\leq n， 我们可以找米米m向量五我五我v_i在RnRn\mathbb{R}^n和G伊=五我⋅五杰G我杰=五我⋅五杰G_{ij} = v_i \cdot v_j。你希望你的向量是单位向量，所以G我我= 1G我我=1G_{ii}=1，并且你希望所有对都有相同的角度，所以G伊= cG我杰=CG_{ij} = c为了i ≠ j我≠杰i \neq j。 换句话说，
G = (1-c) \text{Id}_m + c J_m
在哪里J米J米J_m是个米×米米×米m \times m矩阵就是111的。
JJJ有等级111，所以它有特征值000具有多重性米− 1米−1m-1. 剩余的特征值为米米m. 因此特征值GGG是1 − c1−C1-c，具有多重性米− 1米−1m-1， 和cm + 1 − cC米+1−Ccm+1-c，具有多重性111. 这是半正定的当且仅当− 1 /（m − 1 ）≤ c ≤ 1−1/（米−1）≤C≤1-1/(m-1) \leq c \leq 1. 它有等级米− 1米−1m-1在c = − 1 /（米− 1 ）C=−1/（米−1）c=-1/(m-1)，排名米米m为了− 1 /（米− 1 ）< c < 1−1/（米−1）<C<1-1/(m-1) < c < 1和排名111在c = 1C=1c=1。
这c = 1C=1c=1解决方案是退化的情况五1=五2= ⋯ =五米五1=五2=⋯=五米v_1 = v_2 = \cdots = v_m。如果你接受这个解决方案，那么米米m可以任意大。:)
假设这不算数，我们可以有m = n + 1米=n+1m=n+1向量c = − 1 /（米− 1 ）C=−1/（米−1）c=-1/(m-1)， 或者m = n米=nm=n向量− 1 /（米− 1 ）< c < 1−1/（米−1）<C<1-1/(m-1) < c < 1前一种情况是正则单纯形的顶点具有000在中心；后者的情况只是nnn线性独立向量。
\endgroup
1
-
1\begingroup
如果 n × nn×nn\times nHadamard 矩阵存在（推测n = 4k ,n=4钾，n=4k,对全部k≥1 ，钾≥1，k\geq 1,也n = 2n=2n=2）那么也可以通过首先规范化± 1±1\pm 1哈达玛矩阵的版本+ 1+1+1‘s 位于第一列，然后删除此列。这种简单符号集的情况在应用程序中很有用。
\endgroup
–
|
你的帖子不清楚。特别是，你说的“给定一组等角线，如何提取具有相同成对内积的最大向量集？”是什么意思？从什么中提取？
由于你说“等效地，给定一组等角线”，似乎你忽略了以下条件：五我五我v_i的长度相同（非零）。然后，通过重新缩放，不失一般性，这个长度是111， 进而− 1 ≤ c ≤ 1−1≤C≤1-1\le c\le1。因此，此类向量的 Gram 矩阵五1，… ，五米五1，…，五米v_1,\dots,v_m（和米≥2米≥2m\ge2） 是
G:=(1-c)I_m+c1_m1_m^\top,
在哪里我米我米I_m是个米×米米×米m\times m单位矩阵和1米1米1_m是个米× 1米×1m\times1的列矩阵111的唯一特征值GGG是1 + （米− 1 ）c1+（米−1）C1+(m-1)c（对于特征向量1米1米1_m） 和1 − c1−C1-c（对于正交于1米1米1_m）。 所以，GGG是 Gram 矩阵当且仅当
-\frac1{m-1}\le c\le1. \tag{1}\label{1}
所以，米米m可以是任意整数≥2≥2\ge2如果c≥0C≥0c\ge0， 和
m\le1-\frac1c=1+\frac1{|c|}\quad\text{if }c<0.
这些考虑尚未涉及维度nnn周围空间。现在让我们考虑一下nnn。 让五五V表示n × mn×米n\times m带列的矩阵五1，… ，五米五1，…，五米v_1,\dots,v_m。 然后G =五⊤五G=五⊤五G=V^\top V，以及五五V和GGG是相同的。鉴于GGG（即米米m和CCc如同（1）\eqref{1}），我们可以选择五五V成为G1 / 2G1/2G^{1/2}， 以便GGG将是一些向量的 Gram 矩阵五1，… ，五米五1，…，五米v_1,\dots,v_m在R米R米\Bbb R^m从这个意义上讲，让“环境”维度nnn是米米m. 另一方面，至少当CCc是无理数，特征值1 + （米− 1 ）c1+（米−1）C1+(m-1)c和1 − c1−C1-c的GGG将> 0>0>0如果他们是≥ 0≥0\ge0，因此五五V（与GGG） 必须是米米m，这意味着n≥mn≥米n\ge m， 以便nnn是米米m在这种情况下，这个上限是可能的最小值。因此，至少当CCc是不合理的，
m\le
\left\{
\begin{alignedat}{2}
&n&&\text{ if }c\ge0,\\
&\min\Big(n,1+\frac1{|c|}\Big)&&\text{ if }c<0.
\end{alignedat}
\right.
备注：条件是CCc不合理可以放宽如下：c∉Cn：= { 1 } ∪ { −1n + 1 − 1, −1n + 2 − 1, −1n + 3 − 1，… }C∉Cn：={1}∪{−1n+1−1，−1n+2−1，−1n+3−1，…}c\notin C_n:=\{1\}\cup\{-\frac1{n+1-1},-\frac1{n+2-1},-\frac1{n+3-1},\ldots\}。 （案子c = 1C=1c=1是微不足道的。
另一方面，如果CCc具有非凡的价值−1米− 1−1米−1-\frac1{m-1}对于整数米≥2米≥2m\ge2然后，让（埃1，… ，埃米）（埃1，…，埃米）(e_1,\dots,e_m)成为标准基础R米R米\Bbb R^m，埃¯：=1米∑米k = 1埃钾埃¯：=1米∑钾=1米埃钾\bar e:=\frac1m\sum_{k=1}^m e_k， 和
v_i:=\frac{e_i-\bar e}{|e_i-\bar e|}=\frac{e_i-\bar e}{\sqrt{1-1/m}},我们得到单位向量五1，… ，五米五1，…，五米v_1,\dots,v_m使得五我⋅五杰= −1米− 1= c五我⋅五杰=−1米−1=Cv_i\cdot v_j=-\frac1{m-1}=c对于不同的我我i和杰杰j。此外，向量的跨度五1，… ，五米五1，…，五米v_1,\dots,v_m（这是向量跨度的正交补1米1米1_m到R米R米\Bbb R^m) 的维度为n = m − 1n=米−1n=m-1特别地，在任何二维欧氏空间中都有三个单位向量五1，五2，五3五1，五2，五3v_1,v_2,v_3带角度2 π/ 32π/32\pi/3任意两个之间。□◻\quad\Box
\endgroup
6
-
\begingroup
感谢这个约束！当我说“从等角线中提取”时，我的意思是我们可以为每条等角线分配一个单位向量，它们的成对内积要么是CCc或者−c−C-c如何从这些单位向量中进行选择（允许翻转），以便我们可以获得最大数量的具有同样符号的成对内积。
\endgroup
–
-
\begingroup
@Iosif，我是这样理解的，如果说，c = 1C=1c=1，那么你可以有任意数量的单位向量，每对都有内积111但这显然是错误的，比如，R2R2{\bf R}^2，其中，如果∥v∥ = 1‖五‖=1\|v\|=1，则唯一向量瓦瓦w和∥ w ∥ = 1‖瓦‖=1\|w\|=1和v⋅w = 1五⋅瓦=1v\cdot w=1是w = v瓦=五w=v。
\endgroup
– -
\begingroup
@GerryMyerson : 你关心的只是c = 1C=1c=1？ 我觉得五我五我v_i不必成对不同。无论如何，现在也考虑了“环境”维度。
\endgroup
– -
\begingroup
米米m可以大于nnn， 在R2R2\mathbb{R}^2，可以找到3个这样的单位向量，其原点位于等角三角形的中心，并指向顶点。
\endgroup
– -
\begingroup
@ZiqianXie : 是的，那么c = − 1 / 2C=−1/2c=-1/2属于特殊情况C2C2C_2——请参阅答案末尾的注释。
\endgroup
–
|
请查看 /… 是否回答了您的问题（并让我们知道您的发现）。
\endgroup
–
另请参阅
\endgroup
–
@GerryMyerson 这是一个上限，如果我们为每条等角线分配一个单位向量，则它们成对内积的绝对值是相同的。
\endgroup
–
|