Question

我想知道单位向量的数量界限 $v_{i}$ v_i在 $R^{n}$ \mathbb{R}^n使得 $⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ = c$ \langle v_i, v_j\rangle=c对全部 $i \neq j$ i\ne j。我知道这可以通过等角线的数量来限制，但我找不到更精细的结果。同样，给定一组等角线，如何提取具有相同成对内积的最大向量集？

请查看 /… 是否回答了您的问题（并让我们知道您的发现）。 — 
@GerryMyerson 这是一个上限，如果我们为每条等角线分配一个单位向量，则它们成对内积的绝对值是相同的。 —

Accepted Answer

上限是 $n + 1$ n+1，通过正则单纯形的顶点实现 $0$ 0在中心。这在 Iosef Pinelis 的回答中是隐含的，但让我们明确地说明一下。（看起来 Iosef 回答时问题可能不太清楚。）

给定任何 $m$ m向量 $v_{1}$ v_1， $v_{2}$ v_2，…， $v_{m}$ v_m在 $R^{n}$ \mathbb{R}^n，Gram 矩阵定义为内积矩阵 $G_{i j} = v_{i} \cdot v_{j}$ G_{ij} = v_i \cdot v_j. Gram 矩阵始终是半正定的，秩为 $\leq n$ \leq n. 相反，给定任何正半定对称 $m \times m$ m \times m矩阵 $G$ G等级 $\leq n$ \leq n，我们可以找 $m$ m向量 $v_{i}$ v_i在 $R^{n}$ \mathbb{R}^n和 $G_{i j} = v_{i} \cdot v_{j}$ G_{ij} = v_i \cdot v_j。你希望你的向量是单位向量，所以 $G_{i i} = 1$ G_{ii}=1，并且你希望所有对都有相同的角度，所以 $G_{i j} = c$ G_{ij} = c为了 $i \neq j$ i \neq j。换句话说，

G = （ 1 - c ） ID 米 + c J 米

G = (1-c) \text{Id}_m + c J_m
在哪里 $J_{m}$ J_m是个 $m \times m$ m \times m矩阵就是 $1$ 1的。

$J$ J有等级 $1$ 1，所以它有特征值 $0$ 0具有多重性 $m - 1$ m-1. 剩余的特征值为 $m$ m. 因此特征值 $G$ G是 $1 - c$ 1-c，具有多重性 $m - 1$ m-1，和 $c m + 1 - c$ cm+1-c，具有多重性 $1$ 1. 这是半正定的当且仅当 $- 1 / (m - 1) \leq c \leq 1$ -1/(m-1) \leq c \leq 1. 它有等级 $m - 1$ m-1在 $c = - 1 / (m - 1)$ c=-1/(m-1)，排名 $m$ m为了 $- 1 / (m - 1) < c < 1$ -1/(m-1) < c < 1和排名 $1$ 1在 $c = 1$ c=1。

这 $c = 1$ c=1解决方案是退化的情况 $v_{1} = v_{2} = \dots = v_{m}$ v_1 = v_2 = \cdots = v_m。如果你接受这个解决方案，那么 $m$ m可以任意大。:)

假设这不算数，我们可以有 $m = n + 1$ m=n+1向量 $c = - 1 / (m - 1)$ c=-1/(m-1)，或者 $m = n$ m=n向量 $- 1 / (m - 1) < c < 1$ -1/(m-1) < c < 1前一种情况是正则单纯形的顶点具有 $0$ 0在中心；后者的情况只是 $n$ n线性独立向量。

如果 $n \times n$ n\times nHadamard 矩阵存在（推测 $n = 4 k,$ n=4k,对全部 $k \geq 1,$ k\geq 1,也 $n = 2$ n=2）那么也可以通过首先规范化 $\pm 1$ \pm 1哈达玛矩阵的版本 $+ 1$ +1‘s 位于第一列，然后删除此列。这种简单符号集的情况在应用程序中很有用。 —

Answer 2

你的帖子不清楚。特别是，你说的“给定一组等角线，如何提取具有相同成对内积的最大向量集？”是什么意思？从什么中提取？

由于你说“等效地，给定一组等角线”，似乎你忽略了以下条件： $v_{i}$ v_i的长度相同（非零）。然后，通过重新缩放，不失一般性，这个长度是 $1$ 1，进而 $- 1 \leq c \leq 1$ -1\le c\le1。因此，此类向量的 Gram 矩阵 $v_{1}, \dots, v_{m}$ v_1,\dots,v_m（和 $m \geq 2$ m\ge2）是

G ： = （ 1 - c ） 我 米 + c 1 米 1 ⊤ 米 ，

G:=(1-c)I_m+c1_m1_m^\top,
在哪里 $I_{m}$ I_m是个 $m \times m$ m\times m单位矩阵和 $1_{m}$ 1_m是个 $m \times 1$ m\times1的列矩阵 $1$ 1的唯一特征值 $G$ G是 $1 + (m - 1) c$ 1+(m-1)c（对于特征向量 $1_{m}$ 1_m）和 $1 - c$ 1-c（对于正交于 $1_{m}$ 1_m）。所以， $G$ G是 Gram 矩阵当且仅当

- 1 米 - 1 \leqc\leq1 。 ​ ​ （1）

-\frac1{m-1}\le c\le1. \tag{1}\label{1}

所以， $m$ m可以是任意整数 $\geq 2$ \ge2如果 $c \geq 0$ c\ge0，和

m\leq1- ​ ​ ​ 1 C = 1 + 1 | c | 如果 c < 0。

m\le1-\frac1c=1+\frac1{|c|}\quad\text{if }c<0.

这些考虑尚未涉及维度 $n$ n周围空间。现在让我们考虑一下 $n$ n。让 $V$ V表示 $n \times m$ n\times m带列的矩阵 $v_{1}, \dots, v_{m}$ v_1,\dots,v_m。然后 $G = V^{⊤} V$ G=V^\top V，以及 $V$ V和 $G$ G是相同的。鉴于 $G$ G（即 $m$ m和 $c$ c如同 $(1)$ \eqref{1}），我们可以选择 $V$ V成为 $G^{1 / 2}$ G^{1/2}，以便 $G$ G将是一些向量的 Gram 矩阵 $v_{1}, \dots, v_{m}$ v_1,\dots,v_m在 $R^{m}$ \Bbb R^m从这个意义上讲，让“环境”维度 $n$ n是 $m$ m. 另一方面，至少当 $c$ c是无理数，特征值 $1 + (m - 1) c$ 1+(m-1)c和 $1 - c$ 1-c的 $G$ G将 $> 0$ >0如果他们是 $\geq 0$ \ge0，因此 $V$ V（与 $G$ G）必须是 $m$ m，这意味着 $n \geq m$ n\ge m，以便 $n$ n是 $m$ m在这种情况下，这个上限是可能的最小值。因此，至少当 $c$ c是不合理的，

米 \leq ⎧ ⎩ ⎨ n 最小 （ n ， 1 + 1 | c | ） 如果 c \geq 0 ， 如果 c < 0。

m\le
\left\{
\begin{alignedat}{2}
&n&&\text{ if }c\ge0,\\
&\min\Big(n,1+\frac1{|c|}\Big)&&\text{ if }c<0.
\end{alignedat}
\right.
备注：条件是 $c$ c不合理可以放宽如下： $c \notin C_{n} := {1} \cup {- \frac{1}{n + 1 - 1}, - \frac{1}{n + 2 - 1}, - \frac{1}{n + 3 - 1}, \dots}$ c\notin C_n:=\{1\}\cup\{-\frac1{n+1-1},-\frac1{n+2-1},-\frac1{n+3-1},\ldots\}。（案子 $c = 1$ c=1是微不足道的。

另一方面，如果 $c$ c具有非凡的价值 $- \frac{1}{m - 1}$ -\frac1{m-1}对于整数 $m \geq 2$ m\ge2然后，让 $(e_{1}, \dots, e_{m})$ (e_1,\dots,e_m)成为标准基础 $R^{m}$ \Bbb R^m， $\bar{e} := \frac{1}{m} \sum_{k = 1}^{m} e_{k}$ \bar e:=\frac1m\sum_{k=1}^m e_k，和

五 我 ： = 埃 我 - 埃 ¯ | 埃 我 - 埃 ¯ | = 埃 我 - 埃 ¯ 1 - 1 / 米 - - - - - - - \sqrt ，

v_i:=\frac{e_i-\bar e}{|e_i-\bar e|}=\frac{e_i-\bar e}{\sqrt{1-1/m}},我们得到单位向量 $v_{1}, \dots, v_{m}$ v_1,\dots,v_m使得 $v_{i} \cdot v_{j} = - \frac{1}{m - 1} = c$ v_i\cdot v_j=-\frac1{m-1}=c对于不同的 $i$ i和 $j$ j。此外，向量的跨度 $v_{1}, \dots, v_{m}$ v_1,\dots,v_m（这是向量跨度的正交补 $1_{m}$ 1_m到 $R^{m}$ \Bbb R^m) 的维度为 $n = m - 1$ n=m-1特别地，在任何二维欧氏空间中都有三个单位向量 $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ v_1,v_2,v_3带角度 $2 π / 3$ 2\pi/3任意两个之间。 $◻$ \quad\Box

感谢这个约束！当我说“从等角线中提取”时，我的意思是我们可以为每条等角线分配一个单位向量，它们的成对内积要么是 $c$ c或者 $- c$ -c如何从这些单位向量中进行选择（允许翻转），以便我们可以获得最大数量的具有同样符号的成对内积。 — 
@Iosif，我是这样理解的，如果说， $c = 1$ c=1，那么你可以有任意数量的单位向量，每对都有内积 $1$ 1但这显然是错误的，比如， $R^{2}$ {\bf R}^2，其中，如果 $‖ v ‖ = 1$ \|v\|=1，则唯一向量 $w$ w和 $‖ w ‖ = 1$ \|w\|=1和 $v \cdot w = 1$ v\cdot w=1是 $w = v$ w=v。 — 
@GerryMyerson : 你关心的只是 $c = 1$ c=1？我觉得 $v_{i}$ v_i不必成对不同。无论如何，现在也考虑了“环境”维度。 — 
$m$ m可以大于 $n$ n，在 $R^{2}$ \mathbb{R}^2，可以找到3个这样的单位向量，其原点位于等角三角形的中心，并指向顶点。 — 
@ZiqianXie : 是的，那么 $c = - 1 / 2$ c=-1/2属于特殊情况 $C_{2}$ C_2——请参阅答案末尾的注释。 —

co.combinatorics – 具有相同成对内积的单位向量数量的限制 – MathOverflow

最佳答案
2

co.combinatorics – 具有相同成对内积的单位向量数量的限制 – MathOverflow

最佳答案 2

最佳答案
2