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我想知道单位向量的数量界限v_iRnRn\mathbb{R}^n使得= c=C\langle v_i, v_j\rangle=c对全部i ji\ne j。我知道这可以通过等角线的数量来限制,但我找不到更精细的结果。同样,给定一组等角线,如何提取具有相同成对内积的最大向量集?

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    请查看 /… 是否回答了您的问题(并让我们知道您的发现)。
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    另请参阅
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    @GerryMyerson 这是一个上限,如果我们为每条等角线分配一个单位向量,则它们成对内积的绝对值是相同的。
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最佳答案
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上限是n + 1n+1n+1,通过正则单纯形的顶点实现000在中心。这在 Iosef Pinelis 的回答中是隐含的,但让我们明确地说明一下。(看起来 Iosef 回答时问题可能不太清楚。)

给定任何m向量11v_122v_2,…,v_mRnRn\mathbb{R}^n,Gram 矩阵定义为内积矩阵G=G=G_{ij} = v_i \cdot v_j. Gram 矩阵始终是半正定的,秩为nn\leq n. 相反,给定任何正半定对称××m \times m矩阵GGG等级nn\leq n, 我们可以找m向量v_iRnRn\mathbb{R}^nG=G=G_{ij} = v_i \cdot v_j。你希望你的向量是单位向量,所以G= 1G=1G_{ii}=1,并且你希望所有对都有相同的角度,所以G= cG=CG_{ij} = c为了i ji \neq j。 换句话说,

G = 1 c ID+ cJG=1CID+CJ

G = (1-c) \text{Id}_m + c J_m
在哪里
JJJ_m是个××m \times m矩阵就是111的。

JJJ有等级111,所以它有特征值000具有多重性11m-1. 剩余的特征值为m. 因此特征值GGG1 c1C1-c,具有多重性11m-1, 和cm + 1 cC+1Ccm+1-c,具有多重性111. 这是半正定的当且仅当1 /m 1 c 11/1C1-1/(m-1) \leq c \leq 1. 它有等级11m-1c = 1 /1 C=1/1c=-1/(m-1),排名m为了1 /1 < c < 11/1<C<1-1/(m-1) < c < 1和排名111c = 1C=1c=1

c = 1C=1c=1解决方案是退化的情况1=2= =1=2==v_1 = v_2 = \cdots = v_m。如果你接受这个解决方案,那么m可以任意大。:)

假设这不算数,我们可以有m = n + 1=n+1m=n+1向量c = 1 /1 C=1/1c=-1/(m-1), 或者m = n=nm=n向量1 /1 < c < 11/1<C<1-1/(m-1) < c < 1前一种情况是正则单纯形的顶点具有000在中心;后者的情况只是nnn线性独立向量。

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    如果 n × nn×nn\times nHadamard 矩阵存在(推测n = 4k ,n=4n=4k,对全部k≥1 1k\geq 1,n = 2n=2n=2)那么也可以通过首先规范化± 1±1\pm 1哈达玛矩阵的版本+ 1+1+1‘s 位于第一列,然后删除此列。这种简单符号集的情况在应用程序中很有用。
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你的帖子不清楚。特别是,你说的“给定一组等角线,如何提取具有相同成对内积的最大向量集?”是什么意思?从什么中提取?

由于你说“等效地,给定一组等角线”,似乎你忽略了以下条件:v_i的长度相同(非零)。然后,通过重新缩放,不失一般性,这个长度是111, 进而1 c 11C1-1\le c\le1。因此,此类向量的 Gram 矩阵11v_1,\dots,v_m(和≥22m\ge2) 是

G =1 c + c11G:=1C+C11

G:=(1-c)I_m+c1_m1_m^\top,
在哪里
I_m是个××m\times m单位矩阵和111_m是个× 1×1m\times1的列矩阵111的唯一特征值GGG1 + 1 c1+1C1+(m-1)c(对于特征向量111_m) 和1 c1C1-c(对于正交于111_m)。 所以,GGG是 Gram 矩阵当且仅当

11≤c≤1 (1)(1)11C1.

-\frac1{m-1}\le c\le1. \tag{1}\label{1}

所以,m可以是任意整数≥22\ge2如果c≥0C0c\ge0, 和

m≤1−1C= 1 +1| c |如果 c < 0。11C=1+1|C|如果 C<0.

m\le1-\frac1c=1+\frac1{|c|}\quad\text{if }c<0.


这些考虑尚未涉及维度nnn周围空间。现在让我们考虑一下nnn。 让V表示n × mn×n\times m带列的矩阵11v_1,\dots,v_m。 然后G =G=G=V^\top V,以及VGGG是相同的。鉴于GGG(即mCCc如同(1)\eqref{1}),我们可以选择V成为G1 / 2G1/2G^{1/2}, 以便GGG将是一些向量的 Gram 矩阵11v_1,\dots,v_mRR\Bbb R^m从这个意义上讲,让“环境”维度nnnm. 另一方面,至少当CCc是无理数,特征值1 + 1 c1+1C1+(m-1)c1 c1C1-cGGG> 0>0>0如果他们是00\ge0,因此V(与GGG) 必须是m,这意味着n≥mnn\ge m, 以便nnnm在这种情况下,这个上限是可能的最小值。因此,至少当CCc是不合理的,

n最小 n 1 +1| c | 如果 c 0  如果 c < 0。{n 如果 C0分钟n1+1|C| 如果 C<0.

m\le
\left\{
\begin{alignedat}{2}
&n&&\text{ if }c\ge0,\\
&\min\Big(n,1+\frac1{|c|}\Big)&&\text{ if }c<0.
\end{alignedat}
\right.
备注:条件是CCc不合理可以放宽如下:c∉Cn= { 1 } { 1n + 1 1, 1n + 2 1, 1n + 3 1}CCn:={1}{1n+111n+211n+31}c\notin C_n:=\{1\}\cup\{-\frac1{n+1-1},-\frac1{n+2-1},-\frac1{n+3-1},\ldots\}。 (案子c = 1C=1c=1是微不足道的。

另一方面,如果CCc具有非凡的价值1111-\frac1{m-1}对于整数≥22m\ge2然后,让11(e_1,\dots,e_m)成为标准基础RR\Bbb R^m¯=1k = 1¯:=1=1\bar e:=\frac1m\sum_{k=1}^m e_k, 和

=¯|¯|=¯1 1 /:=¯|¯|=¯11/

v_i:=\frac{e_i-\bar e}{|e_i-\bar e|}=\frac{e_i-\bar e}{\sqrt{1-1/m}},我们得到单位向量11v_1,\dots,v_m使得= 11= c=11=Cv_i\cdot v_j=-\frac1{m-1}=c对于不同的ij。此外,向量的跨度11v_1,\dots,v_m(这是向量跨度的正交补111_mRR\Bbb R^m) 的维度为n = m 1n=1n=m-1特别地,在任何二维欧氏空间中都有三个单位向量123123v_1,v_2,v_3带角度2 π/ 32π/32\pi/3任意两个之间。\quad\Box

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    感谢这个约束!当我说“从等角线中提取”时,我的意思是我们可以为每条等角线分配一个单位向量,它们的成对内积要么是CCc或者−cC-c如何从这些单位向量中进行选择(允许翻转),以便我们可以获得最大数量的具有同样符号的成对内积。
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    @Iosif,我是这样理解的,如果说,c = 1C=1c=1,那么你可以有任意数量的单位向量,每对都有内积111但这显然是错误的,比如,R2R2{\bf R}^2,其中,如果∥v∥ = 1=1\|v\|=1,则唯一向量ww = 1=1\|w\|=1v⋅w = 1=1v\cdot w=1w = v=w=v
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    @GerryMyerson : 你关心的只是c = 1C=1c=1? 我觉得v_i不必成对不同。无论如何,现在也考虑了“环境”维度。
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    m可以大于nnn, 在R2R2\mathbb{R}^2,可以找到3个这样的单位向量,其原点位于等角三角形的中心,并指向顶点。
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    @ZiqianXie : 是的,那么c = 1 / 2C=1/2c=-1/2属于特殊情况C2C2C_2——请参阅答案末尾的注释。
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