Question

如果有高度的水柱 $h$ h从地面开始，重力势能应该是 $E = m g h / 2$ E=mgh/2，因为重心高度为 $h / 2$ h/2。现在我不太明白的是，如果我想找到水从水柱底部（在地面）流出的速度，假设能量没有损失，当使用 $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ mgh=\frac{1}{2}mv^2高度应该怎么算？还是到重心的高度还是总高度 $h$ h? 我在网上看到过类似的问题，其中以总高度作为势能来解决。这让我很困惑，因为当单独找到水柱的 PE 时， $h / 2$ h/2必须采取。

想象一下当水从底部流出时柱子的重心位置会发生什么变化。 — 
它只是从 h/2 位置移动到 h=0 的地面水平，对吗？ — 
因为 $d (x^{2}) / d x = 2 x$ d(x^2)/dx = 2x不仅 $x$ x。 — 
随着高度下降，水的速度（和动能）也会下降。你考虑过这个因素吗？ —

Answer 1

你是对的，如果你考虑的是整个列的 GPE，那么你应该采取 $\frac{h}{2}$ \frac h2因为这是水的平均高度。

但是，如果考虑到流出的水，流出的水相当于顶层下降，中间部分得到补充，并且所有部分基本上都通过取消而从计算中消失。因此，相关的 GPE 高度是全高。

你能详细解释一下吗？我不太明白事物是如何抵消的。 —

Answer 2

如果液柱的密度 $ρ$ \rho、横截面积 $A$ A和身高 $h$ h那么它的质量是 $m = ρ A h$ m = \rho A h其市盈率为

$P E = \frac{m g h}{2} = ρ A g (\frac{h^{2}}{2})$ \displaystyle PE = \frac {mgh} 2 = \rho A g \left( \frac {h^2} 2 \right)

如果柱子的初始高度是 $h_{0}$ h_0其最终高度为 $h_{1}$ h_1那么除去的液体的质量是

$Δ m = ρ A (h_{0} - h_{1})$ \Delta m = \rho A (h_0 – h_1)

并且该柱的 PE 变化为

$Δ P E = ρ A g (\frac{h_{0}^{2} - h_{1}^{2}}{2}) = ρ A g (\frac{(h_{0} - h_{1}) (h_{0} + h_{1})}{2}) = (Δ m) g (\frac{h_{0} + h_{1}}{2})$ \displaystyle \Delta PE = \rho A g \left( \frac {h_0^2-h_1^2} 2\right) = \rho A g \left( \frac {(h_0-h_1)(h_0+h_1)} 2\right) = (\Delta m) g \left( \frac {h_0+h_1} 2 \right)

注意 $\frac{h_{0} + h_{1}}{2}$ \frac {h_0+h_1} 2是柱子的初始高度和最终高度的平均值。

Answer 3

假设一个圆柱体充满水，高 100 米，横截面积为 2 $m^{2}$ m^2所以水的体积是 $200 m^{3}$ 200 m^3质量为200吨。水柱的初始势能为：

毫克 ​ 小时 / 2 = 200 \times 克 \times 100 / 2 = 10000 克 。

mgh/2 = 200\times g\times 100/2 = 10000 g.如果我们将水位降低一米，水柱的总质量就会减少 2 吨，此时的势能为

毫克 ​ 小时 / 2 = 198 \times 克 \times 99 / 2 = 9801 克

mgh/2 = 198\times g\times 99/2 = 9801 g。势能的变化是 $Δ P E + 199$ \Delta PE + 199g.

然而，还有另一种看待这个问题的方式。2 $m^{3}$ m^3圆柱体顶部缺失的水现在实际上位于圆柱体底部。我们只能考虑这团水的势能变化。水团的初始势能为

毫克 ​ h = 2 \times g \times 99.5 = 199 克

mgh = 2\times g\times 99.5 = 199 g，其中 99.5 是水团重心的高度。水团的最终势能为

毫克 ​ h = 2 \times g \times 0 = 0 克 ，

mgh = 2\times g\times 0 = 0 g,所以粒子的势能变化是 $Δ P E = 199 g .$ \Delta PE = 199g.

这与我们考虑整个水柱的平均高度时得到的结果相同。

因此，看似矛盾的方法只是看待同一事物的两种不同方式，但都得出相同的结果。用于表示水团势能的高度 99.5 也是其上部高度（100）和下部高度（99）的平均值。

流体动力学 – 水柱的重力势能

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3

流体动力学 – 水柱的重力势能

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