我认为安德鲁获胜

50％

的时间。

Bndrew 可以保证至少有这个概率获胜，策略是

抛硬币来选择

安德鲁最多可以用这个概率保证安德鲁获胜，策略是

显示更接近以下数字1212\frac{1}{2}。

例如，如果安德鲁透露1515\frac{1}{5}或者4545\frac{4}{5}，Bndrew 只知道另一个数字是均匀分布的[ 0 ，15] ∪ [45，1 ][0，15]∪[45，1][0,\frac{1}{5}] \cup [\frac{4}{5},1]并且获胜的概率达到一半。

假设最佳玩法，我认为安德鲁不能赢得超过

50%的时间。

为什么？

让AAa和bbb两个秘密数字，a≤b​​A≤ba \leq b， 和XXx安德鲁给出的数字（x =一个X=Ax=a或者x = bX=bx=b）。

如果我们排除随机说出“最大”或“最小”的策略（胜率不能超过 50%），安德鲁的选择只能依赖于XXx。这意味着任何策略都将包括选择一组年代⊆ [ 0,1 ]​​年代⊆[0，1]S \subseteq [0,1]如果安德鲁说“最大”，x∈S​​X∈年代x \in S，否则就说“最小”。

最好的选择是什么年代年代S? 这毫无意义年代年代S不是上限低于的区间111，因为这意味着存在a≤b​​A≤ba \leq b这样安德鲁就会说“最高”AAa但“最低”bbb。因此，我们可以假设年代= [ s , 1 ]年代=[s，1]S=[s, 1]对于一些s∈ [ 0,1 ]​​​s∈[0，1]s \in [0,1]。

那么，sss好吧，为了确保无论安德鲁选择什么都能获胜，我们希望最大限度地提高a≤s≤b​​​​A≤s≤ba \leq s \leq b. 当s =12s=12s=\frac{1}{2}。

因此，Bndrew 的最佳策略是说“最大”，如果x≥​12X≥12x \geq \frac{1}{2}并且“最小”如果x <12X<12x < \frac{1}{2}。有一个1212\frac{1}{2}有的概率a≤​12≤b​A≤12≤ba \leq \frac{1}{2} \leq b这确保了安德鲁的胜利。如果a≤b≤​​​12A≤b≤12a \leq b \leq \frac{1}{2}，安德鲁可以通过给予x = bX=bx=b（有概率发生）1414\frac{1}{4}） 而如果12≤a≤b​​​12≤A≤b\frac{1}{2} \leq a \leq b，安德鲁可以通过给予x =一个X=Ax=a（这也有概率发生1414\frac{1}{4}）。