Question

给你一个 3×3 的网格，其中填充了零：

每次旋转，您可以选择一个 2×2 的相邻单元格子网格，并将每个单元格的数字增加 1。每个单元格中的数字可能不同吗？奖励：实现此目标所需的最少旋转次数是多少？

“2×2 子网格”是否意味着所有单元格都是相邻的？或者可以是四个角？ —

Accepted Answer

我认为最小增量数是

12 个增量

为了证明这是最小值，我们首先注意

每个 2×2 方块必须至少增加一次。我们可以通过假设相反的情况来证明这一点：让我们选择一个角，比如左上角：考虑两个红色方块。在不增加左上角的情况下，增加其中一个的唯一方法是增加右上角——这将增加它们两个。因此，只要左上角不增加，两个红色方块就会相同。

我们还知道

每个角必须增加不同的次数，否则它们会相同。

现在我们知道了这两件事，我们知道

最小增量数为 10（1+2+3+4）。但是，很明显 10 个增量是不可能的。1 角必须与 2 角相邻（这将在它们之间创建一个与 3 角重叠的 3）或 3 角相邻（这将在它们之间创建一个与 4 角重叠的 4）。

唯一能够达到 11 个增量的可行数字组合是 1、2、3、5。但是，在这种情况下，2 和 3 必须彼此对角相邻（否则它们之间会形成 5）。然而，1 和 2 也必须彼此对角相邻（否则它们之间会形成 3）。这显然是不可能的。

让我们看看 12。有 2 组可能的增量可以用于 12：1、2、4、5 和 1、2、3、6。让我们从 1、2、4、5 开始。1 必须位于 4 的对角线对面，否则它们会创建 5。但是，在这种情况下，4 将紧挨着 2，而 1 将紧挨着 5，这将创建一对六。

那么 1、2、3、6 呢？1 必须与 2 对角相邻才能避免出现第二个 3，但其他所有组合都有效。1+3=4、1+6=7、2+3=5、2+6=8 都是唯一的。

Answer 2

初始定义

只有四种可能的操作：添加 $1$ 1到左上角、右上角、左下角和右下角区域中的每个单元格。将这四个操作称为 $A, B, C, D$ A,B,C,D分别。请注意，组合运算既是传递的又是结合的。我将使用加法语法进行组合，使用乘法语法（在整数和运算之间）多次运行运算。

约束

四个角中的每一个都只有一个对应的操作来增加它。由于所有四个角的数字都必须不同， $A, B, C, D$ A,B,C,D必须应用不同的次数。让棋盘的总变形为 $a A + b B + c C + d D$ aA+bB+cC+dD——即操作 $A$ A已经完成 $a$ a次，操作 $B$ B已经完成 $b$ b次，其他两个也类似。请注意，所有四个 $a, b, c, d$ a,b,c,d不同。现在我们的矩阵是：

$⎡ ⎣ ⎢ 一个一个 + c c a + b a + b + c + d 丙 + 丁 b b + d d ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}a&a+b&b\\a+c&a+b+c+d&b+d\\c&c+d&d\end{bmatrix}
请注意，这四个值都不能为零，否则，有些值会相等。知道了这一点，我们可以发现中心方块的数字并不重要，它显然大于矩阵中的所有其他数字。因为我们已经发现 $a, b, c, d$ a,b,c,d不同，角也不重要。此外，“相邻”边（即共用一个角的边）也不相等。因此，唯一的其他主要限制如下：
相对边不应相等。也就是说， $a + b \neq c + d$ a+b\neq c+d和 $a + c \neq b + d$ a+c\neq b+d. 有很多四胞胎 $(a, b, c, d)$ (a,b,c,d)满足此条件。
没有边应该等于角。也就是说， $a + b \neq c$ a+b\neq c，其他的也一样。这才是最重要的界限。

因此，这显然是……

可能的！

优化

首先假设 $1$ 1和 $2$ 2是集合的一部分。如果它们相反（WLoG $a$ a和 $d$ d分别），那么我们的矩阵如下：

$⎡ ⎣ ⎢ 1 1 + c c 1 + b 3 + b + c 2 + c b 2 + b 2 ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}1&1+b&b\\1+c&3+b+c&2+b\\c&2+c&2\end{bmatrix}
清楚地， $b, c > 2$ b,c>2。认为 $b = 3$ b=3。（ $c = 3$ c=3是等效的。

$⎡ ⎣ ⎢ 1 1 + c c 4 6 + c 2 + c 352 ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}1&4&3\\1+c&6+c&5\\c&2+c&2\end{bmatrix}
这里， $c \geq 6$ c\geq6。实际上， $c = 6$ c=6有效，产生以下矩阵：

$⎡ ⎣ ⎢ 1764128352 ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}1&4&3\\7&12&5\\6&8&2\end{bmatrix}
在这里，我们的总和是 $12$ 12。

如果 $b = 4$ b=4， $c = 5$ c=5是最小值。这会产生相同的总和，因此我们不需要检查这种情况。现在，请注意，如果最小值大于一，则最小总和至少为 $2 + 3 + 4 + 5 = 14$ 2+3+4+5=14，所以我们可以忽略这一点。

事实上， $1$ 1 和 $2$ 2必须是进一步优化集合的一部分。如果 $1$ 1存在，最低限度是 $1 + 3 + 4 + 5 = 13$ 1+3+4+5=13— 还是太大了！现在，假设 $1$ 1和 $2$ 2相邻。（WLoG， $a = 1, b = 2$ a=1,b=2.）我们的矩阵现在是：

$⎡ ⎣ ⎢ 1 1 + c c 3 3 + c + d 丙 + 丁 2 2 + d d ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}1&3&2\\1+c&3+c+d&2+d\\c&c+d&d\end{bmatrix}
$c, d$ c,d大于 $3$ 3现在。因此，这种情况的最小可能金额是 $1 + 2 + 4 + 5 = 12$ 1+2+4+5=12，所以这不会改变任何东西！我们甚至不需要检查！

因此，经过所有这些捷径之后，我们的最终最低限度是……

十二！

具有此最小值的一个矩阵是：

$⎡ ⎣ ⎢ 1764128352 ⎤ ⎦ ⎥$
\begin{bmatrix}1&4&3\\7&12&5\\6&8&2\end{bmatrix}

您的解决方案也是正确的，但我发现接受的答案更容易理解。 —

Answer 3

每个单元格中可能获得不同的数字吗？

是的，它是：

– 选择一个 2×2 角一次

– 选择第二个 2×2 角两次

– 选择第三个 2×2 角四次

– 选择第四个 2×2 角八次

奖励：实现此目标所需的最少转数是多少？

十五圈

优化 – 3×3 板 v2 的所有单元格中的不同数字 – Puzzling

最佳答案
3

初始定义

约束

优化

优化 – 3×3 板 v2 的所有单元格中的不同数字 – Puzzling

最佳答案 3

初始定义

约束

优化

最佳答案
3