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从量子场论的路径积分可得：

是= ∫D φ埃−年代[ φ ]是=∫德φ埃−年代[φ]

Z=\int D\phi e^{-S[\phi]}
当我们长时间研究理论时，一个很好的论点是什么电视电视T，其行为如下：

是→埃−T​埃0是→埃−电视埃0

Z \to e^{-TE_0}
在哪里埃0埃0E_0是系统的最小能量。

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简而言之，标准论点是

  1. 路径积分形式和具有幺正时间演化的 Minkowskian 签名中的算子形式之间的对应关系；

  2. Wick 将对应关系的两边旋转为欧几里得签名；

  3. （可选）与统计力学中的一致，其中欧几里得时间成为温度的倒数ββ\beta；

  4. 取极限

    是 = 負責​H埃− βH^∼埃− β埃0为了β→ ∞​是 = 电视rH埃−βH^∼埃−β埃0为了β→∞，

    Z~=~{\rm Tr}_{\cal H}e^{-\beta \hat{H}}\quad\sim\quad e^{-\beta E_0}\quad\text{for}\quad\beta\to\infty,
    在哪里    埃0埃0E_0是基态。

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路径积分和算子形式对应关系表明，对于欧几里得时间吨吨t，

是= ∫D φ埃−年代[ φ ]↔中 = 負責​H（埃−t​H^）是=∫德φ埃−年代[φ]↔是 = 电视rH（埃−吨H^）

Z=\int D\phi e^{-S[\phi]}\leftrightarrow Z~=~{\rm Tr}_{\cal H}(e^{-t\hat{H}})

固定正交基{ | n⟩​}n∈H​{|n⟩}n∈H\{|n\rangle\}_{n}\in \mathcal{H}对于理论的希尔伯特空间。然后利用以下恒等式

⟨米| n ⟩ =δn​ ∑n| n⟩⟨n | =我^⟨米|n⟩=δ米n ∑n|n⟩⟨n|=我^

\langle m|n\rangle = \delta_{mn}\quad\space \sum_{n}|n\rangle\langle n| = \hat{\text{I}}

我们可以得到特征态的谱分解H| n⟩=埃n| n⟩H|n⟩=埃n|n⟩H|n\rangle = E_n|n\rangle

埃−吨​=埃−吨​（∑n| n⟩⟨n | ) =∑n埃−吨​| n⟩⟨n | =∑n埃−t​埃n| n⟩⟨n |埃−吨H=埃−吨H（∑n|n⟩⟨n|）=∑n埃−吨H|n⟩⟨n|=∑n埃−吨埃n|n⟩⟨n|

e^{-tH} = e^{-tH}\biggr(\sum_{n}|n\rangle\langle n|\biggr) = \sum_{n}e^{-tH}|n\rangle\langle n| = \sum_{n}e^{-tE_n}|n\rangle\langle n|

这引导我们

負責​H（埃−t​H^) =∑n埃−t​埃n=埃−t​埃0( 1+∑n埃− t (埃n−埃0）) ∼埃−t​埃0（t → ∞ ）电视rH（埃−吨H^）=∑n埃−吨埃n=埃−吨埃0（1+∑n埃−吨（埃n−埃0））∼埃−吨埃0（吨→∞）

{\rm Tr}_{\cal H}(e^{-t\hat{H}}) = \sum_{n}e^{-tE_n} = e^{-tE_0}\biggr(1+\sum_{n}e^{-t(E_n-E_0)}\biggr)\sim e^{-tE_0}\quad(t\rightarrow\infty)

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我假设你指的是虚时间电视电视T。在这种情况下，路径积分等于配分函数（其中电视= β电视=βT=\beta)，正如其他人所指出的那样。然后，让HHH是

H=∑n埃nΠn，H=∑n埃nΠn，

H=\sum_n E_n \Pi_n,

在哪里ΠnΠn\Pi_n是（不一定是一维的）特征投影函数。然后，对特征值进行排序HHH，{埃n}{埃n}\{E_n\}，按升序排列：埃0<埃1<埃2< …埃0<埃1<埃2<…E_0 < E_1 < E_2<\ldots，并且退化为Gn= Tr​ΠnGn=电视rΠng_n=\mathrm{Tr} \Pi_n， 我们有

是= Tr​埃− βH=∑n = 0Gn埃− β埃n=埃− β埃0G0( 1 +∑n = 1埃− βΔnGn/G0）=埃− β埃0G0( 1 +埃− βΔ1G1/G0+ Ø （埃− βΔ2）），是=电视r埃−βH=∑n=0Gn埃−β埃n=埃−β埃0G0（1+∑n=1埃−βΔnGn/G0）=埃−β埃0G0（1+埃−βΔ1G1/G0+哦（埃−βΔ2）），

\begin{align}
Z &= \mathrm{Tr} e^{-\beta H}\\
&= \sum_{n=0} g_n e^{-\beta E_n}\\
&= e^{-\beta E_0} g_0 \left (1+ \sum_{n=1} e^{-\beta \Delta_n} g_n/g_0 \right )\\
&= e^{-\beta E_0} g_0 \left (1+ e^{-\beta \Delta_1} g_1/g_0 + O(e^{-\beta \Delta_2}) \right ),
\end{align}

有效期β→ ∞β→∞\beta\to \infty并已定义Δn：=埃n−埃0> 0Δn：=埃n−埃0>0\Delta_n := E_n-E_0>0. 通常基态是非简并态，即G0= 1G0=1g_0=1，从而得出你的方程（ββ\beta是虚时间）。

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