让

f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k

是具有所需属性的完整函数。Wlog 让F≠ 0F≠0f \not=0，至少有一个A钾A钾a_k不为零。通过设置是1=是2= z是1=是2=是z_1=z_2=z我们有| f（2兹) | ≤ 2 | f（z）||F（2是）|≤2|F（是）||f(2z)| \le 2|f(z)| （z∈C )​（是∈C）(z \in \mathbb{C})。 因此

g(z):= \frac{f(2z)}{f(z)}, \quad |g(z)|\le 2.

注意要点是∈C​是∈Cz\in \mathbb{C}和F（z）= 0F（是）=0f(z)=0是可移除的奇点GGg（自从GGg在每个奇点附近都有界，参见 ），因此GGg是有界的整函数。根据刘维尔定理GGg是常数。因此

\exists c \in \mathbb{C} \forall z \in \mathbb{C}: ~ f(2z)=cf(z)

比较幂级数的系数FFf产量

2^ka_k=ca_k \quad (k \in \mathbb{N}_0).

因此A钾≠ 0A钾≠0a_k \not=0暗示2钾= c2钾=C2^k=c，所以只有一个A钾A钾a_k可≠ 0≠0\not=0。 因此，F（z) =A钾是钾F（是）=A钾是钾f(z)=a_kz^k对于一些钾钾k. 案件k = 0 , 1钾=0，1k=0,1是可能的，并且k > 1钾>1k>1是不可能的，因为是≠ 0是≠0z\not=0

|f(2z)|=|a_k(2z)^k|\le 2|a_kz^k|=2|f(z)| \iff 2^k \le 2.

因此，整个函数具有| f（是1+是2) | ≤ | f（是1）| + | f（是2）||F（是1+是2）|≤|F（是1）|+|F（是2）||f(z_1+z_2)| \le |f(z_1)|+|f(z_2)|正是函数F（z) =一F（是）=Af(z)=a和F（z) =一个​F（是）=A是f(z)=az，a∈C​​A∈Ca \in \mathbb{C}。

这是柯西不等式的一个应用，即：如果米（右）米（r）M(r)是最大模量FFf在半径为rrr以某一点为中心是0是0z_0（说000）， 然后|F（n ）（是0) | ≤米（r ）n ！rn|F（n）（是0）|≤米（r）n！rn|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{M(r)n!}{r^n}。

现在从三角不等式可以得出| f( 2埃φ​）| = | f（埃φ​+埃φ​) | ≤ | f（埃φ​）| + | f（埃φ​）| = 2 | f（埃φ​）||F（2埃我φ）|=|F（埃我φ+埃我φ）|≤|F（埃我φ）|+|F（埃我φ）|=2|F（埃我φ）||f(2e^{i\varphi})|=|f(e^{i\varphi}+e^{i\varphi})|\leq|f(e^{i\varphi})|+|f(e^{i\varphi})|=2|f(e^{i\varphi})|并归纳| f（千埃φ​) | ≤ k | f（埃φ​）||F（钾埃我φ）|≤钾|F（埃我φ）||f(ke^{i\varphi})|\leq k|f(e^{i\varphi})|. 这是给所有人的φ∈R​​φ∈R\varphi\in\mathbb R。 它遵循米（k ）≤kM​​（1 ）米（钾）≤钾米（1）M(k)\leq kM(1)。 但是之后

|f^{(n)}(0)|\leq \frac{M(k)n!}{k^n}\leq \frac{k M(1)n!}{k^{n}}=k^{-(n-1)}M(1)n!

对所有人来说都是如此k∈N​​钾∈否k\in\mathbb N。 只要（n − 1 ）（n−1）(n-1)是正数 – 也就是说，n≥2​​n≥2n\geq2– 这是000作为k → ∞钾→∞k\to\infty， 因此|F（n ）（0 ）| ≤0​|F（n）（0）|≤0|f^{(n)}(0)|\leq0， 制作F（n ）（0 ）= 0F（n）（0）=0f^{(n)}(0)=0对全部n≥2​​n≥2n\geq2满足此条件的唯一解析函数是次数小于222。

这里的直觉是，整个函数的增长率限制了其系数：如果它至少沿着某种路径线性、二次、三次增长到无穷大，那么线性、二次、三次部分的系数可以不为零。但三角不等式最多强制线性增长，因此唯一的非零系数是幂级数的常数和线性部分的系数。