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我想到以下问题。

在圆上选取四个均匀随机的点，并在每对点之间画线段。最长的线段位于相邻点之间的概率是多少？

使用 Excel 的实验数据表明答案是2323\frac23，我正在试图找出原因。我相信解决方案可能涉及。或者，鉴于可能的答案如此简单，也许有一个来自对称性的优雅论证。

我制作了一个，您可以在其中选择圆上的四个随机点，然后显示线段。

我的学生使用的错误方法却给出了正确答案？

我问了我的学生这个问题（没有提到实验数据），她说：“有六条线段，其中四条位于相邻点之间，因此最长的线段位于相邻点之间的概率是46=2346=23\frac46=\frac23“”。

嗯？这种方法肯定是错误的：相对点之间的线段的预期长度应该比相邻点之间的线段更长，所以这六条线段不应该被同等对待，对吧？

诡异的。

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    简单的方法确实对一个相关的略有不同的问题给出了错误的答案。最短线段位于相邻点之间的概率不是46=2346=23\frac46=\frac23；概率是111（快速查看此内容的方法：让点为甲、乙、丙,德一个，乙，碳，德A,B,C,D循环顺序。如果交流​一个碳AC是△ A B C△一个乙碳\triangle ABC， 然后∠ A B C∠一个乙碳\angle ABC是最小的角度，所以∠ A B C≤60∘∠一个乙碳≤60∘\angle ABC \le 60^\circ。 如果交流​一个碳AC是△交流​德△一个碳德\triangle ACD， 然后∠ADC​​​∠一个德碳\angle ADC是最小的角度，所以∠ADC​​​≤60∘∠一个德碳≤60∘\angle ADC \le 60^\circ。 但∠ A B C+ ∠ADC​​​=180∘∠一个乙碳+∠一个德碳=180∘\angle ABC+\angle ADC=180^\circ，所以一个大于60∘60∘60^\circ。
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    一个有趣的问题是nnn这很有效！显然它适用于n = 2n=2n=2和n = 3n=3n=3，并且你已经证明了它对于 也是（不那么明显）正确的n = 4n=4n=4。什么是诱饵答案和正确答案n = 5n=5n=5？
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    同意…看起来f（3 ）= 1 = 3/3​​f（3）=1=3/3f(3)=1=3/3，f（4 ）= 2 / 3 = 4 / 6f（4）=2/3=4/6f(4)=2/3=4/6，f（5 ）= 5/12​​f（5）=5/12f(5)=5/12，f（6 ）= 1 / 4 = 6/24​​f（6）=1/4=6/24f(6)=1/4=6/24， 和f（7 ）= 7/48​​f（7）=7/四十八f(7)=7/48…建议f（n ）= n /（3⋅​2n − 3）f（n）=n/（3⋅2n−3）f(n)=n/(3\cdot 2^{n-3})一般来说。
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    @Brondahl “圆上的均匀随机点”不是“在内”。因此在圆周上，以及在长度或中心角度上的自然均匀分布。
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    @SidharthGhoshal Henry 在他们的回答中表明正确答案是n3 ⋅2n − 3n3⋅2n−3\dfrac{n}{3 \cdot 2^{n-3}}， 在哪里nnn是随机点的数量。诱饵答案是n（n2）=2n − 1n（n2）=2n−1\frac{n}{\binom{n}{2}}=\frac{2}{n-1}。因此诱饵答案与正确答案的比例趋近于无穷大。
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最佳答案
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我无法找到一个非常简单的答案，但我可以2323\frac 23采用这种方法。

如果点甲、乙、丙,德一个，乙，碳，德A,B,C,D（忽略顺序）位于以哦哦O如果∠A O B​∠一个哦乙\angle AOB是θ ∈ ( 0 , π）θ∈（0，π）\theta \in (0, \pi)然后一个一个A和乙乙B是相邻点，并且乙​一个乙AB是最长的线段

  • 如果碳碳C和德德D都在里面 ∠A O B​∠一个哦乙\angle AOB（下图红色弧线），这种情况发生的概率是（θ2 π）2（θ2π）2\left(\frac{\theta}{2 \pi}\right)^2
  • 或者23π< θ < π23π<θ<π\frac23 \pi < \theta < \pi和碳碳C和德德D角度大小3θ − 2π​​3θ−2π3\theta-2\pi对面的∠A O B​∠一个哦乙\angle AOB（如果存在，则为下面的粉色弧线），这种情况发生的概率为（3θ − 2π​​2 π）2我[23π< θ < π]（3θ−2π2π）2我[23π<θ<π]\left(\frac{3\theta-2\pi}{2 \pi}\right)^2\mathbb I_{\left[\frac23 \pi < \theta < \pi\right]}

因此组合概率（θ2 π）2+（3θ − 2π​​2 π）2我[23π< θ < π]（θ2π）2+（3θ−2π2π）2我[23π<θ<π]\left(\frac{\theta}{2 \pi}\right)^2 + \left(\frac{3\theta-2\pi}{2 \pi}\right)^2\mathbb I_{\left[\frac23 \pi < \theta < \pi\right]}。

自从θθ\theta均匀分布于（0 , π）（0，π）(0, \pi)，发生这种情况的概率是

∫π01π（θ2 π）2dθ +∫π23π1π（3θ − 2π​​2 π）2dθ =112+1三十六=19。∫0π1π（θ2π）2dθ+∫23ππ1π（3θ−2π2π）2dθ=112+1三十六=19。

\int_0^{\pi} \frac1{\pi}\left(\frac{\theta}{2 \pi}\right)^2\, d\theta + \int_{\frac23\pi}^\pi \frac1{\pi}\left(\frac{3\theta-2\pi}{2 \pi}\right)^2\, d\theta = \frac1{12} + \frac1{36}=\frac19.

但我们可以从以下任何一个开始（42） =6（42）=6{4 \choose 2}=6对点，而不仅仅是甲,乙一个，乙A,B，因此相邻点之间的某个线段是最长线段的总体概率是69=2369=23\dfrac69=\dfrac23。

如果444点，我们有nnn点，则同样的分析适用于其他n − 2n−2n-2所有点都必须出现在同一个弧中，因此提升到幂n − 2n−2n-2而不是平方。

这给出了概率一个一个A和乙乙B是相邻点，并且乙​一个乙AB是最长的线段∫π01π（θ2 π）n − 2dθ +∫π23π1π（3θ − 2π​​2 π）n − 2dθ∫0π1π（θ2π）n−2dθ+∫23ππ1π（3θ−2π2π）n−2dθ\int_0^{\pi} \frac1{\pi}\left(\frac{\theta}{2 \pi}\right)^{n-2}\, d\theta + \int_{\frac23\pi}^\pi \frac1{\pi}\left(\frac{3\theta-2\pi}{2 \pi}\right)^{n-2}\, d\theta =1（n − 1 ）2n − 2+13 （n − 1 ）2n − 2=1（n−1）2n−2+13（n−1）2n−2= \frac1{(n-1)2^{n-2}} + \frac1{3(n-1)2^{n-2}} =13 （n − 1 ）2n − 4。=13（n−1）2n−4。=\frac1{3(n-1)2^{n-4}}.但（n2）（n2）{n \choose 2}可能的点对，所以总概率是（n2）3 （n − 1 ）2n − 4=n3 ⋅2n − 3（n2）3（n−1）2n−4=n3⋅2n−3\dfrac{n \choose 2}{3(n-1)2^{n-4}}=\dfrac{n}{3 \cdot 2^{n-3}}，证实了 mjqxxxx 发现的模式。

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