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问题：

888蚂蚁被放置在单位立方体的边缘。证明存在一对蚂蚁，距离不超过111。

我的想法1：

我试图找出蚂蚁应该如何放置，以便我们可以进行一些逻辑构建来表明有一对蚂蚁之间的距离不超过 1。

我的想法2：

两只蚂蚁之间的距离之和大于即。（82）（82）\binom82。如果这被证明是错误的，那么我们就完成了，就好像少于（82）（82）\binom82那么必定有一个不超过 1。

我更倾向于想法 2，感谢您的帮助……

太感谢了

编辑：也许我们可以使用一只蚂蚁所连接的距离的最小值，然后用 8 来证明它。

编辑：我忘了提及来源…第二届高加索数学奥林匹克。我在解决去年的问题时发现了这个很棒的问题。

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最佳答案
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问题中的数字 8 让我立即想到：立方体有 8 个什么？6 个面，12 条边 — 但有 8 个顶点。那么，有没有办法将 8 只蚂蚁与 8 个顶点联系起来，这可能会有所帮助？

好吧，我们可以将每只蚂蚁分配给它最近的顶点。现在怎么办？每只蚂蚁必须距离1212\frac{1}{2}从最近的顶点开始——所以如果两只蚂蚁有相同的最近顶点，那么它们≤ 1≤1\leq 1沿着边缘互相爬行，所以肯定≤ 1≤1\leq 1绝对距离（如蛀虫钻入）。如果每只蚂蚁都有不同的最近顶点呢？那么每个顶点都有一些指定的蚂蚁。现在取离其指定顶点最远的蚂蚁——称那只蚂蚁为安东尼，称它与顶点的距离为一个一个a. 那么安东尼1−一​1−一个1-a从他的边缘的另一端；但那个顶点有一只自己的蚂蚁，距离≤一个≤一个\leq a（因为安东尼距离自己的顶点最远）；所以这两只蚂蚁之间的距离是≤ （1 − a ）+ a = 1≤（1−一个）+一个=1\leq (1-a) + a = 1沿着边缘，如此反复，≤ 1≤1\leq 1就像蛀虫钻进来一样。

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    哇，很棒的解决方案，甚至这也很巧妙
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    惊人的见解！
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如果立方体的同一闭合边上有任意两只蚂蚁，那么这两只蚂蚁之间的距离最多为 1，这样我们就完成了。否则，蚂蚁的排列方式将使得没有两只蚂蚁在同一边上。

把立方体想象成一个抽象的图（有八个顶点和十二条边），考虑这个子图。当且仅当立方体的封闭边上有一只蚂蚁时，子图才包含一条边。由于任何封闭边最多包含一只蚂蚁，因此这个子图中至少有八条边。因此，子图有一个循环。

假设循环已经丙丙c边缘。忽略立方体的其余部分，这个循环是一个长度为丙丙c。 有丙丙c在这个环上，蚂蚁把环分成丙丙c部分。最短部分的长度最多为 1。但是最短部分两端的两只蚂蚁之间的距离也最多为 1，因为欧氏距离以直线距离为主。

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    这不一定正确：“任何封闭的边缘最多包含一只蚂蚁” ——如果两个蚂蚁位于立方体的顶点，则封闭的边缘可以包含它们。此外，所有888蚂蚁可以分布在一条边上，这将使你的所有推理无效（尽管从这种安排中可以立即得出所需的结论）。如果你明确假设“沿边的距离都大于111‘ 排除像我这样的安排，然后得出一个矛盾的结论。
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    @CiaPan 如果一条封闭的边缘两端各有两只蚂蚁，那么它们的距离“不超过111“因此，它们被排除在考虑范围之外，就像两只蚂蚁在那边缘但远离其末端一样。
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    @CiaPan 我修改了我的答案，让逻辑更清晰。这解决了你评论中的问题吗？
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    是的，它确实做得很好。现在经验较少的人也可以遵循解决方案，而不必填补（并不总是那么明显的）空白。
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    附言：正如您（比我更清楚）所知，StackExchange 网站的工作方式是问答，其目标是不仅为提问者提供有用的答案，还为关注者提供有用的答案，这些关注者可能会在一段时间后（可能是几年后）寻求解决方案。这些读者可能没有机会要求澄清，所以我认为最好给出完整的答案，即使对于那些知识水平比原始问题略低的人来说，答案也可能是不言自明的。感谢您的编辑。
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