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问题 1.是否存在连续的空间划分R3R3\mathbb{R}^3变成圆圈?

我强烈怀疑不是。

众所周知,空间可以划分为圆形,这一点可以通过各种论证得到。选择公理有一个简洁的论证,它通常适用于圆形、椭圆形、三角形、正方形等,几乎适用于任何类型的形状。只需进行超限递归,放置下一个圆以达到所需点,同时避开前一个圆(少于连续体个数)。(参见优秀文章 Jonsson, M.; Wästlund, J., , Math. Scand. 83, No. 2, 192–204 (1998). . .) 该参数可以修改为使所有圆的半径都不同,或所有圆的半径都相同,或使每个半径都恰好实现一次,或使没有两个圆共面甚至不在平行平面上,或使每个圆都在原点的 1 以内,等等。它非常灵活。

还有一些不依赖于选择公理的明确构造,将空间划分为圆圈。例如,参见 Jonsson-Wästlund 文章中的定理 1.1。然而,如何通过明确描述的划分来实现几个进一步的属性,例如所有圆圈大小相同,这仍然是一个问题。

同时,据我所知,没有一个明确的构造是连续的,而且我怀疑空间没有被连续地划分成圆圈。

将空间连续划分为圆,就是将空间中的每个点划分为一个圆,这样将每个点映射到相应圆心和垂线的函数就是一个连续函数。我们不需要给圆一个方向。

我在麦迪逊参加了研讨会并发表了演讲,我们几个人(我、乔·米勒、斯特芬·兰普、乌里·安德鲁斯、玛丽亚·索斯科娃)花了一个下午的时间讨论这个问题。

我们可以证明,如果存在一对相连的圆,那么空间就不能连续地划分为圆。原因是,如果圆 C 和 D 相连,那么我们可以将圆 C 连续变形为任何所需的圆 C’,只需遵循将 C 上的任何点映射到 C’ 上的点的路径,并考虑该路径上点出现的圆即可。C 的所有这些连续变形将保持与 D 相连,因此 C’ 与 D 相连(因此,通过将 D 也变形为任何 D’,我们可以看到任何两个圆都相互连接)。但现在考虑跨越 D 的圆盘中的点。将这些点映射到它们所在的相应圆的半径的函数是连续的,因此它通过紧凑性达到最大值。因此,与 D 相连的所有圆都无法到达很远的点,这是一个矛盾。

然而,无链接的情况仍未解决。

问题2.空间是否有连续的划分R3R3\mathbb{R}^3陷入循环?

也就是说,我们将要求从几何圆弱化为拓扑圆。对于连续性的概念,我们可以说,如果两个环具有其图像始终保持接近的参数化,则它们是接近的。

再次,我怀疑答案是否定的。

链接情况论证对于拓扑圆同样适用,因此当所有环路都未链接时,就会出现开放情况。

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    如果合适,请帮我重新标记。
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    我想 Borel & Serre 的应该是相关的……
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    您的连续性要求将迫使R3R3\mathbb R^3为圆丛,即具有圆纤维的丛的整个空间,而实则不然。
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    @RyanBudney 抱歉,我不太明白这是什么意思。你能发个答案解释一下这个论点吗?
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    一个快速的观察是,如果你考虑R3R3\mathbb{R}^3(IE年代3年代3\mathbb{S}^3),那么 Hopf 纤维化就能完成这个任务。
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最佳答案
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作为部分答案,没有平滑的划分R3R3\mathbb{R}^3变成光滑的环路。例如,考虑商空间;它必然是一个(局部是一个曲面,可能具有孤立的点,每个点都有一个以R2R2\mathbb{R}^2模有限阶旋转)。

自从R3R3\mathbb{R}^3是非紧致且单连通的,商也是。唯一这样的 orbifold 是R2R2\mathbb{R}^2。因此分割结果为R3R3\mathbb{R}^3结构年代1年代1S^1-捆绑R2R2\mathbb{R}^2

现在,R2R2\mathbb{R}^2是可收缩的。所以任何年代1年代1S^1-bundle 同构于年代1×R2年代1×R2S^1 \times \mathbb{R}^2.这有基本组\mathbb{Z}我们就完成了。


平滑性并不是真正必要的。相反,我们需要每个环都有一个与“固体环面的标准纤维”同胚的小邻域。如果这成立,则分割给出R3R3\mathbb{R}^3的结构更困难,但仍然有丰富的理论。

当分区的各个部分是(连续变化的)圆形时,额外的结构(即具有良好的邻域)成立。因此,问题 1 的答案是否定的。问题 2 感觉更微妙;毕竟,空间中的连续环路可能表现得相当糟糕!因此,获得束结构似乎更加困难。

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    实际结果是没有拓扑叶状结构R3R3R^3其叶子是拓扑圆。这是 David Epstein 的一个定理的结果:叶子是圆的 3 流形的拓扑叶子层是 Seifert 的。
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    @MoisheKohan – 你指的是 Epstein 的哪篇论文?他 1972 年的论文“三流形上的周期流”需要 (?) 叶状结构至少为11C^1,并且需要周围空间紧凑:参见第67页。
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    让我检查一下,我可能记错了。
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    是的,我确实记错了。事实上,Vogt(1989 年,1993 年改进)构造了一个拓扑叶状结构R3R3R^3通过光滑的圆圈(并在更高维度上证明了类似的结果)。
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是的,有一个拓扑叶状结构R3R3\mathbb R^3由光滑圆环构成。Vogt 于 1967 年构造了一个由拓扑圆环构成的叶状结构。

沃格特,埃尔玛, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 69, 215-232 (1989)

在随后的论文中,他改进了结果,将其扩展到更高维度并得到了光滑圆(但仍然只是拓扑叶子层):

Vogt, Elmar,数学年鉴 296,第 1 期,159-178(1993 年)

但这些叶理对应于R3R3\mathbb R^3不是上半连续的。没有上半连续分解 R3R3\mathbb R^3在圆圈里,看到

Cobb, John,Geom. Dedicata 62,No. 1,107-114 (1996)

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    从这个问题的意义上来说,叶理是否连续,这一点清楚吗?
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    等等,这里的“圆”是指微分纯同于年代1年代1S^1还是真正的欧几里得圆(平面上与中心点等距的点集)?因为问题是关于后者的,但 Vogt 的论文提到了流形中的圆,这只有在前一种意义上才有意义。(不过,也许有理由将一个归结为另一个。我没有看到。)
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    @WillSawin:我正在回答第二个问题。当然,这里的圆圈不是圆的。
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    我知道,但我指的是这个条件:“对于连续性的概念,如果两个循环具有其图像始终保持接近的参数化,我们可以说这两个循环是接近的。”
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    我认为这些 Vogt 叶子层不能回答这个问题,但也许这个问题有点模糊。
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