Question

问题 1.是否存在连续的空间划分 $R^{3}$ \mathbb{R}^3变成圆圈？

我强烈怀疑不是。

众所周知，空间可以划分为圆形，这一点可以通过各种论证得到。选择公理有一个简洁的论证，它通常适用于圆形、椭圆形、三角形、正方形等，几乎适用于任何类型的形状。只需进行超限递归，放置下一个圆以达到所需点，同时避开前一个圆（少于连续体个数）。（参见优秀文章 Jonsson, M.; Wästlund, J., , Math. Scand. 83, No. 2, 192–204 (1998). . .) 该参数可以修改为使所有圆的半径都不同，或所有圆的半径都相同，或使每个半径都恰好实现一次，或使没有两个圆共面甚至不在平行平面上，或使每个圆都在原点的 1 以内，等等。它非常灵活。

还有一些不依赖于选择公理的明确构造，将空间划分为圆圈。例如，参见 Jonsson-Wästlund 文章中的定理 1.1。然而，如何通过明确描述的划分来实现几个进一步的属性，例如所有圆圈大小相同，这仍然是一个问题。

同时，据我所知，没有一个明确的构造是连续的，而且我怀疑空间没有被连续地划分成圆圈。

将空间连续划分为圆，就是将空间中的每个点划分为一个圆，这样将每个点映射到相应圆心和垂线的函数就是一个连续函数。我们不需要给圆一个方向。

我在麦迪逊参加了研讨会并发表了演讲，我们几个人（我、乔·米勒、斯特芬·兰普、乌里·安德鲁斯、玛丽亚·索斯科娃）花了一个下午的时间讨论这个问题。

我们可以证明，如果存在一对相连的圆，那么空间就不能连续地划分为圆。原因是，如果圆 C 和 D 相连，那么我们可以将圆 C 连续变形为任何所需的圆 C’，只需遵循将 C 上的任何点映射到 C’ 上的点的路径，并考虑该路径上点出现的圆即可。C 的所有这些连续变形将保持与 D 相连，因此 C’ 与 D 相连（因此，通过将 D 也变形为任何 D’，我们可以看到任何两个圆都相互连接）。但现在考虑跨越 D 的圆盘中的点。将这些点映射到它们所在的相应圆的半径的函数是连续的，因此它通过紧凑性达到最大值。因此，与 D 相连的所有圆都无法到达很远的点，这是一个矛盾。

然而，无链接的情况仍未解决。

问题2.空间是否有连续的划分 $R^{3}$ \mathbb{R}^3陷入循环？

也就是说，我们将要求从几何圆弱化为拓扑圆。对于连续性的概念，我们可以说，如果两个环具有其图像始终保持接近的参数化，则它们是接近的。

再次，我怀疑答案是否定的。

链接情况论证对于拓扑圆同样适用，因此当所有环路都未链接时，就会出现开放情况。

您的连续性要求将迫使 $R^{3}$ \mathbb R^3为圆丛，即具有圆纤维的丛的整个空间，而实则不然。 — 
@RyanBudney 抱歉，我不太明白这是什么意思。你能发个答案解释一下这个论点吗？ — 
一个快速的观察是，如果你考虑 $R^{3}$ \mathbb{R}^3（IE $S^{3}$ \mathbb{S}^3)，那么 Hopf 纤维化就能完成这个任务。 —

Answer 1

作为部分答案，没有平滑的划分 $R^{3}$ \mathbb{R}^3变成光滑的环路。例如，考虑商空间；它必然是一个（局部是一个曲面，可能具有孤立的点，每个点都有一个以 $R^{2}$ \mathbb{R}^2模有限阶旋转）。

自从 $R^{3}$ \mathbb{R}^3是非紧致且单连通的，商也是。唯一这样的 orbifold 是 $R^{2}$ \mathbb{R}^2。因此分割结果为 $R^{3}$ \mathbb{R}^3结构 $S^{1}$ S^1-捆绑 $R^{2}$ \mathbb{R}^2。

现在， $R^{2}$ \mathbb{R}^2是可收缩的。所以任何 $S^{1}$ S^1-bundle 同构于 $S^{1} \times R^{2}$ S^1 \times \mathbb{R}^2.这有基本组 $Z$ \mathbb{Z}我们就完成了。

平滑性并不是真正必要的。相反，我们需要每个环都有一个与“固体环面的标准纤维”同胚的小邻域。如果这成立，则分割给出 $R^{3}$ \mathbb{R}^3的结构。更困难，但仍然有丰富的理论。

当分区的各个部分是（连续变化的）圆形时，额外的结构（即具有良好的邻域）成立。因此，问题 1 的答案是否定的。问题 2 感觉更微妙；毕竟，空间中的连续环路可能表现得相当糟糕！因此，获得束结构似乎更加困难。

实际结果是没有拓扑叶状结构 $R^{3}$ R^3其叶子是拓扑圆。这是 David Epstein 的一个定理的结果：叶子是圆的 3 流形的拓扑叶子层是 Seifert 的。 — 
@MoisheKohan – 你指的是 Epstein 的哪篇论文？他 1972 年的论文“三流形上的周期流”需要 (?) 叶状结构至少为 $C^{1}$ C^1，并且需要周围空间紧凑：参见第67页。 — 
是的，我确实记错了。事实上，Vogt（1989 年，1993 年改进）构造了一个拓扑叶状结构 $R^{3}$ R^3通过光滑的圆圈（并在更高维度上证明了类似的结果）。 —

Answer 2

是的，有一个拓扑叶状结构 $R^{3}$ \mathbb R^3由光滑圆环构成。Vogt 于 1967 年构造了一个由拓扑圆环构成的叶状结构。

沃格特，埃尔玛，, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 69, 215-232 (1989)。

在随后的论文中，他改进了结果，将其扩展到更高维度并得到了光滑圆（但仍然只是拓扑叶子层）：

Vogt, Elmar，，数学年鉴 296，第 1 期，159-178（1993 年）。

但这些叶理对应于 $R^{3}$ \mathbb R^3不是上半连续的。没有上半连续分解 $R^{3}$ \mathbb R^3在圆圈里，看到

Cobb, John，，Geom. Dedicata 62，No. 1，107-114 (1996) 。

从这个问题的意义上来说，叶理是否连续，这一点清楚吗？ — 
等等，这里的“圆”是指微分纯同于 $S^{1}$ S^1还是真正的欧几里得圆（平面上与中心点等距的点集）？因为问题是关于后者的，但 Vogt 的论文提到了流形中的圆，这只有在前一种意义上才有意义。（不过，也许有理由将一个归结为另一个。我没有看到。） — 
@WillSawin：我正在回答第二个问题。当然，这里的圆圈不是圆的。 — 
我知道，但我指的是这个条件：“对于连续性的概念，如果两个循环具有其图像始终保持接近的参数化，我们可以说这两个循环是接近的。” — 
我认为这些 Vogt 叶子层不能回答这个问题，但也许这个问题有点模糊。 —

集合论 – 空间是否有连续的圆形划分？ – MathOverflow

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2

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