Question

\newcommand\underto[1]{\xrightarrow[#1]{}}布劳尔-西格尔定理指出，如果我们考虑一个无限的数域序列 $K_{i} / Q$ K_i/\mathbb{Q}使得

[ 钾 我 ： 问 ] 日志 | 德 我 | - \to - - 我 \to \infty 0 ，

\frac{[K_i:\mathbb{Q}]}{\log{|D_i|}}\underto{i\to\infty}0,如果 $K_{i} / Q$ K_i/\mathbb{Q}是 Galois，那么

日志 （ 时长 我 R 我 ） 日志 （ | 德 我 | - - - \sqrt ） - \to - - 我 \to \infty 1

\frac{\log(h_iR_i)}{\log(\sqrt{|D_i|})} \underto{i\to\infty}1
在哪里 $h_{i}$ h_i是班级数量 $K_{i}$ K_i， $R_{i}$ R_i监管机构，以及 $D_{i}$ D_i判别式。

我的问题很简单，如果我们使用阿贝尔 CM 场，是否有可能

日志 （ R 我 ） - \to - - 我 \to \infty -\infty ？ ​

\log(R_i)\vphantom{\rule{0em}{-2ex}}\underto{i\to\infty}-\infty?
或者更准确地说， $\frac{\log (R_{i})}{\log (\sqrt{| D_{i} |})}$ \frac{\log{(R_i)}}{\log(\sqrt{|D_i|})}渐近有界吗？

等价于 $\frac{\log (h_{i})}{\log (\sqrt{| D_{i} |})}$ \frac{\log(h_i)}{\log(\sqrt{|D_i|})}渐近有界吗？

Accepted Answer

如果 $K$ K是一个数场，那么它的调节器总是大于 $1 / 5$ 1/5事实上，Friedman，E.，，《发明数学》。98（1989）599–622，包含以下结果：对于每个 $K$ K我们有
$R_{K} \geq R_{L}$ R_K\geq R_L，在哪里 $L$ L是唯一的全复六次域的判别式 $- 10051$ -10051。特别是，不， $\log R_{i}$ \log R_i永远不会 $- \infty$ -\infty并且两者 $\frac{\log R_{i}}{\log \sqrt{| D_{i} |}}$ \frac{\log R_i}{\log \sqrt{|D_i|}}和 $\frac{\log h_{i}}{\log \sqrt{| D_{i} |}}$ \frac{\log h_i}{\log \sqrt{|D_i|}}有上下两个界限。

哇！我完全不知道！:) 谢谢你这个非常有启发性的回答！ — 
是否也存在一个明确的下限 $\log R_{K} \geq c \cdot [K : Q] + d$ \log{R_K} \geq c \cdot [K:\mathbb{Q}] +d对于一些常数 $c, d$ c,d？ — 
@Aphelli，你完全正确！R. Zimmert 证明了 $R_{K} \geq 0.04 \exp (0.46 r + 0.1 s)$ R_K\geq 0.04\exp(0.46r+0.1s)如果 $K$ K有 $r$ r真实嵌入和 $s$ s成对的复杂嵌入。该论文名为“Idealklassen und eine Regulatorabschätzung 中的 Ideale kleiner Norm” —

nt.number 理论 – Brauer–Siegel 定理及其应用 – MathOverflow

最佳答案
1

nt.number 理论 – Brauer–Siegel 定理及其应用 – MathOverflow

最佳答案 1

最佳答案
1