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在特定游戏中，4 名玩家每人掷一个标准的 6 面骰子。掷出最高点数的玩家获胜。如果掷出最高点数的玩家打成平手，则打成平手的玩家将再次掷骰子，这个过程将持续到一名玩家获胜。Hugo 是这个游戏中的玩家之一。假设 Hugo 赢得了游戏，他第一次掷出的点数为 5 的概率是多少？
解决方案 1 仅考虑第一轮，并计算其最高掷出 5 的概率。这没有考虑可能的情况：单 5、双 5 等。因此，该解决方案是错误的。然而，问题中是否存在更深层次的原因/对称性/结构，导致这个错误的解决方案导致相同的数字答案4114441144\dfrac{41}{144}与解决方案 2 一样（使用贝叶斯定理正确得出答案）？
编辑：
根据 David K 的评论以及我的想法，解决方案 1 是正确的（基于对称性）。如果我们重新表述问题，使其变成“获胜者掷出 5 的概率是多少”，那么解决方案 1 就说得通了。即使坚持要确定 Hugo，Hugo 的概率与其他玩家的概率相同（对称），解决方案 1 就说得通了。但是，我无法说明解决方案 1 和 2 是如何关联的（例如，对称概率如何导致相同的答案）。我认为我的对称性答案有点“不着边际”。如果能给出更精确的答案，我将不胜感激。
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6
最佳答案
3
解决方案 1 是正确的。当且仅当以下两个事件发生时，Hugo 才能获胜，因为他在第一轮中掷出了 5 点：一个一个A，第一轮最高得分是555; 和乙乙B，Hugo 获胜。但是一个一个A和乙乙B是独立的，因为如果你知道第一轮掷出的四个数字，但不知道谁掷出了哪个数字，那么任何给定的玩家都有概率1 / 41/41/4对称取胜。所以Pr ( A ∩ B ∣ B ) = Pr ( A )普尔（一个∩乙∣乙）=普尔（一个）\Pr(A\cap B\mid B)=\Pr(A)。
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2
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很漂亮。正是我想要的。
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这当然表明，原始的“解决方案 1”给出正确答案是有充分理由的，而不是巧合。但它并没有完全表明“解决方案 1 是正确的”，因为它包含了解决方案的实质上坚实的论证：论证缺少一个关键步骤，而这个答案恰好填补了这一步骤。
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问题 20
在一场特定的比赛中，444玩家掷出标准666{ }面骰子。掷出最高点数的玩家获胜。如果掷出最高点数的玩家打成平手，则打成平手的玩家将再次掷骰子，这个过程将持续到一名玩家获胜。Hugo 是这场比赛的玩家之一。Hugo 第一次掷出的点数为5 、5，5,假设他赢了比赛？解决方案 1
因为我们知道 Hugo 赢了，我们知道他在第一轮中掷出了最高的数字。所以，所需的概率就是第一轮中掷出最高数字的概率5.5.5.
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以下是解决方案1的详细扩展：
=======磷（Hugo 第一次掷骰子= 5 ∣获胜者= Hugo ）磷（Hugo 第一次掷骰子= 5 ，获奖者=雨果)磷（获奖者=雨果）磷（获胜者的第一轮掷骰结果为5 ，获奖者=雨果)磷（获奖者=雨果）磷（获胜者的第一轮掷骰结果= 5 ）× P（获奖者=雨果）磷（获奖者=雨果）磷（获胜者第一次掷骰子= 5 ）磷（第一轮最高点数= 5 ）磷（第一轮最高掷骰结果≤5 ）−P（第一轮最高掷骰结果≤4 ）（56）4−（46）4，磷（Hugo 的第一次翻滚=5∣优胜者=雨果）=磷（Hugo 的第一次翻滚=5，优胜者=雨果）磷（优胜者=雨果）=磷（获胜者的第一轮投掷=5，优胜者=雨果）磷（优胜者=雨果）=磷（获胜者的第一轮投掷=5）×磷（优胜者=雨果）磷（优胜者=雨果）=磷（获胜者的第一轮投掷=5）=磷（第一轮最高点数=5）=磷（第一轮最高点数≤5）−磷（第一轮最高点数≤4）=（56）4−（46）4，\begin{align}{}&P(\text{Hugo’s first roll} = 5\mid \text{winner} = \text{Hugo})
\\={}&\frac{P(\text{Hugo’s first roll} = 5,\; \text{winner} = \text{Hugo})}{P(\text{winner} = \text{Hugo})}
\\={}&\frac{P(\text{the winner’s first roll} = 5,\; \text{winner} = \text{Hugo})}{P(\text{winner} = \text{Hugo})}
\\={}&\frac{P(\text{the winner’s first roll} = 5)\times P(\text{winner} = \text{Hugo})}{P(\text{winner} = \text{Hugo})}
\\={}&P(\text{the winner’s first roll} = 5)
\\={}&P(\text{the first round’s highest roll} = 5)
\\={}&P(\text{the first round’s highest roll} \le 5)-P(\text{the first round’s highest roll} \le 4)
\\={}&\left(\frac56\right)^4-\left(\frac46\right)^4,
\end{align}
按要求。请注意，第三个等式是由于这两个事件的独立性，而第五个等式反映了解决方案 1 所述的观察结果。
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或者，选择任意一名玩家页页p（无论页页p被识别）；然后，通过对称性，
===磷（Hugo 第一次掷骰子= 5 ∣获胜者= Hugo ）磷（p的第一次掷骰子= 5 ∣获胜者= p ）磷（获胜者第一次掷骰子= 5 ∣获胜者= p ）磷（获胜者的第一掷= 5 ），磷（Hugo 的第一次翻滚=5∣优胜者=雨果）=磷（页第一个卷=5∣优胜者=页）=磷（获胜者的第一轮投掷=5∣优胜者=页）=磷（获胜者的第一轮投掷=5），\begin{align}
{}&P(\text{Hugo’s first roll} = 5\mid \text{winner} = \text{Hugo})
\\={}&P(p\text{‘s first roll} = 5\mid \text{winner} = p)
\\={}&P(\text{the winner’s first roll} = 5\mid \text{winner} = p)
\\={}&P(\text{the winner’s first roll} = 5),
\end{align}
通过事件的独立性；然后工作按上述要求继续进行。
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太棒了。独立性观察（针对您的第一个版本）和对称性观察（针对您的第二个解决方案）是这个问题的关键。
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关键独立部分的注释如下：如果一个一个A是获胜者首先掷骰子的事件555，乙钾乙钾B_k事件发生时钾钾k第一位玩家获胜，玩家111那么是 Hugo
P(A)=\sum_{1\leq k \leq 4}P(A\cap B_k)=4P(A\cap B_1)（因为每个球员都是一样的）
P(A\cap B_1)=P(A)\cdot\frac{1}{4}=P(A)P(B_1)这表明答，乙1一个，乙1A,B_1是独立的。
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我将把数学分成不同的行（只是为了让我更容易理解）。无意以任何方式改变您的答案/解释。
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对您发布的问题 +1，因为我认为潜在的问题很有趣。但是，我也认为您发布的问题有缺陷。例如，您没有在发布的问题中直接展示明确的数学知识来建立您提出的两个主张。此外，您没有尝试通过探索来回答自己的问题，也没有在发布的问题中直接展示探索。例如，如果 Hugo 掷出 4 会怎样？此外，如果您有一个 7 面的骰子，而 Hugo 掷出 6 会怎样？
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值得一提的是，几乎我见过的每个 MathSE 发布的问题，只要遵循了都会被点赞而不是被点踩。我并不一定提倡这种协议。相反，我只是陈述一个事实：如果你严格遵循链接的文章，不跳过/省略任何内容，你几乎可以保证得到积极的回应。
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解决方案 1 没有错。注释是错误的。
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我同意@DavidK 的观点。评论说没有考虑额外的决胜局。但这并不重要。我们能收集到的关于第一轮（也就是我们感兴趣的那一轮）的唯一信息是 Hugo 赢了还是打平了。这些信息被正确地用于解决问题。
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@Snoop，如果你能将你的独立性解释详细写成答案，那将会非常有帮助。
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