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我正在阅读“Zee A. – 尽可能简单的量子场论”，在解释 QFT 的开头，他给出了看似，他指出：

相应的概率等于概率幅的绝对值的平方，即该复数的长度的平方。（第 89 页）

路径的概率幅度等于长度 = 1 且角度为θ =S（路径）/ ħ​​​θ=年代（页一个吨时长）/ħθ = S(path)/ħ（第91页）

我们被要求将所有这些概率幅度相加，以确定从起点到终点的概率幅度。（第 92 页）

因此，在经典物理学中，每条路径的动作都是一个实数，是一条无限长线上的一个点；而在量子物理学中，每条路径的概率幅度都是一个复数，用半径为 1 的圆上的一个点表示。（第 91 页）

维基百科：

  1. 事件的概率由复数的平方模给出，称为“概率幅”。
  2. 概率幅度由配置空间中所有路径的贡献相加而得出。
  3. 路径的贡献与埃是​/ ħ埃我年代/ħe^{iS/ħ}

因此，A. Zee 表示概率幅度向量的长度为 1，而维基百科则表示“比例”。根据 A. Zee 的说法，路径的概率将为 1（从起点到终点的概率将大于 100%），这似乎很奇怪。这还能被认为是正确的吗？如何？

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最佳答案
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考虑从十我十我x_i到十f十fx_f量子力学上，我们可以问这样一个过程发生的概率

对(十我→十f）= | ⟨十f| Ψ(t)⟩|2= | ⟨十f|你（吨，吨0）|十我⟩|2页（十我→十f）=|⟨十f|Ψ（吨）⟩|2=|⟨十f|乌（吨，吨0）|十我⟩|2

p(x_i\rightarrow x_f) = |\langle x_f|\Psi(t)\rangle|^2 = |\langle x_f |U(t,t_0)|x_i\rangle|^2

Wikipedia 和 Zee 都表示

Wiki：事件的概率由复数的平方模给出，称为“概率幅度”。

Zee：对应的概率等于概率幅的绝对值的平方，也就是该复数长度的平方。

两者都在讨论上述方程。提到的振幅是⟨十我|你（吨，吨0）|十f⟩⟨十我|乌（吨，吨0）|十f⟩\langle x_i|U(t,t_0)|x_f\rangle.通过路径积分形式我们知道

⟨十我|你（吨，吨0）|十f⟩ = ∫直径​埃是​[ x ] / ℏ⟨十我|乌（吨，吨0）|十f⟩=∫德十埃我年代[十]/ℏ

\langle x_i|U(t,t_0)|x_f\rangle = \int \mathcal D x \quad e^{iS[x]/\hbar}

在哪里年代年代S是粒子的经典行为。如果我们将这个惊人的大积分（它是多个积分的集合，路径中的每个点都有一个积分）解释为一个和，并将里面的术语解释为“路径的概率”，我们可以说粒子沿路径行进的概率幅度十十x正比于​埃是​/ ℏ埃我年代/ℏe^{iS/\hbar}。这里的比例术语很重要，因为我们里面有一个标准化因子直径​德十\mathcal D xWiki 更加谨慎，而 Zee 为了直觉而牺牲了严谨性。

Zee：我们被要求将所有这些概率幅度相加，以确定从起点到终点的概率幅度。

看起来 Zee 没有明确指出他是否将“这些概率幅度”称为与埃是​/ ℏ埃我年代/ℏe^{iS/\hbar}或者只是指数。但从形式上讲，假设任何路径的概率111，因为正如您所注意到的，总和会给我们大于 1 的东西，所以不会产生概率。

路径的概率幅度与相位的指数成正比是解释路径积分的一种方式。Wiki 和 Zee 再次同意这种解释，但 Wiki 更正式、更严格

Wiki：路径的贡献与 eiS/ħ 成正比

Zee：路径的概率幅度等于长度 = 1 且角度 θ = S（路径）/ħ 的复数

看看 Zee 对长度 = 1 的描述。他将复指数解释为复平面上的旋转矢量。由于该术语是埃是​/ ℏ埃我年代/ℏe^{iS/\hbar}，长度为111从这个意义上来说。

在简历中，Zee 选择讨论非正则化概率分布，因此您可以正确地假设它不能总结为100100100%。当然，这是一种非常不严谨的表达方式，但他似乎试图在如此复杂的对象背后建立一些直觉。更严格地说，积分首先不是和，因为我们无法对无法计算的东西求和。但如果你想把东西加起来111，记住比例和标准化因子。

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    “积分首先不是和”，他确实在短时间内用积分代替了和。但我不记得他对路径积分做过（甚至提到过）规范化。刚刚搜索了一下，“normali”在文本中只出现了两次。从数学上讲，规范化真的那么难吗，值得“为了直觉而牺牲严谨性”吗？
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    我添加了书中的第 4 句引文，以指出 Zee 似乎强调了圆的重要性：“在量子物理学中，概率幅度存在于圆上。”尽管之前他展示了如何添加不在半径 1 圆上的复数。为什么？
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    很难说他这句话的用意是什么。个人觉得他想把古典的“……无限长直线上的一点……”和量子的“……半径为 1 的圆上的一点”进行对比。但这种对比背后并没有明确的逻辑。
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  1. Zee 在使用费曼的秒表手/箭头图像表示时进行了过度的简化。

    主要观点是（在无界位置空间上RdRd\mathbb{R}^d）概率分布（来自路径积分）只是相对的，即它的规范化是非物理的。

  2. 有关详细信息，请参阅我的相关 Phys.SE 答案及其中的链接。

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