标准差​​​​​

• 是方差的平方根，
• 与数据有相同的单位，是分布尺度的度量

这就是考虑该统计数据的原因。

它具有一些附加属性（例如，分布的一部分不超过期望的一个标准差，并且分布的一部分不小于期望的一个标准差；111标准差高于或低于预期是正常密度曲线的拐点，但它们对方差和尺度关系的这一要点来说是辅助性的。

我不完全理解你所说的关于导数的内容，但我认为这对理解标准差并没有什么帮助。部分问题在于，我认为你混淆了一般标准差的概念和正态曲线的标准差。

这是最基本的思考方式。任何统计分布，无论其形状如何（钟形、扁平、双峰等），都有一个平均值。标准差表示其他值与该平均值的“接近程度”，即“平均而言”。要计算标准差，您基本上要找到每个点到平均值的距离，然后取这些距离的平均值（实际上是取这些距离的平方的平均值，然后取该平均值的平方根）。因此，如果您的标准差为 2.5，则意味着（或多或少）每个点与平均值之间的平均距离为 2.5。因此，标准差为 1 仅表示平均值在平均值的 1 个点以内。

这就是一般的标准偏差。现在，正态（高斯）曲线是一种非常特殊的钟形分布，它（除其他外）描述了随机误差偏离真实值的方式（其公式中确实有数字“e”和“pi”，但在这种情况下并不特别相关），因此它可以告诉我们从随机样本中得出的估计值应该有多少误差。正因为如此，我们对这种分布了解很多，而且我们碰巧知道的一件事是，如果你将其标准化，使平均值为 0，标准差为 1，我们就可以计算出介于任意两组值之间的观测值的百分比。所以我们知道约 68% 的观测值介于 -1 和 1 个标准差之间，或者约 95% 的观测值介于 -1.96 和 1.96 个标准差之间（1.96 非常接近 2）。这些数字本身并没有什么特别之处，但因为我们知道它们，所以我们可以用它们来计算通用标准，以决定一个发现是否“真实”，而不是仅仅由于随机误差。