Question

随着我多年来数学知识的成熟，我开始意识到许多古典数学文本中都存在着严重的不准确之处，有时甚至只是错误的证明。

例如，在 Atiyah 和 Macdonald 所著的关于交换代数的经典著作中，他们在推论 1.5 后的注释 1 中声称，如果交换单元环是 Noether 环，则 Krull 主理想定理的证明不需要选择公理。例如，这里已经讨论过这一点这种说法具有误导性，因为虽然它确实没有使用完整的选择公理（顺便说一句，这等同于 Krull 在 ZF 上的主理想定理，如 W. Hodges 所示），但它似乎不可避免地使用了依赖选择原理。

另一个我认为更为严重的例子是 Hartshorne 在其著名著作《代数几何》中证明，代数闭域上的（可能可约的）仿射簇类别与同一域上的仿射约化代数类别是反等价的（推论 3.8）。他声称这是前面推论 3.7 的直接结果，而这种说法并不正确。例如，可以在 Görtz 和 Wedhorn 合著的一书中的命题 1.33中找到正确的证明。

我提出这个话题并不是为了引起争论或者冒犯任何人——无论是我还是其他人，都不会因此就认为阿蒂亚、麦克唐纳或哈茨霍恩不再是杰出的数学家。我提出这个观点有两个原因。第一个原因是，我在给研究生一年级学生讲授交换代数和基础代数几何时，我指出了这些错误，而学生们只是问我：如果这些书中的错误很容易指出和解决，那么为什么不是每个人都这样做呢？好吧，我的学生说得很有道理。第二个原因是，我经常听到资深数学家说，他们注意到他们被要求做审稿人的许多论文中的数学写作质量严重下降，我认为研究论文中严重错误比几十年前更频繁地出现可能与人们编写教科书的粗心大意有关。

我不知道这是否适合在 mathoverflow 上讨论，或者我是否应该在其他地方提出这一点；或者我是否可以在这里提出这个讨论，但我没有以正确的方式进行 – 因为这是一个复杂的话题。所以我请求社区，特别是版主向我指出如何正确解决这个问题（并且以一种礼貌的方式，如果这不是要求太多的话）。

正如您所猜测的，我是一位代数学家。

我很好奇：您在您研究领域参考的书籍中发现了哪些不准确和错误？

为了根据宝贵的建议更新问题，我现在只查看许多领域参考书中的一些难以捉摸的数学陈述或推理的具体例子。

@SamHopkins：我认为它不是太广泛——这些例子指出了一类相当具体的错误，即研究生教科书给出了不准确/误导性的陈述，但不是严重错误的定理——而且确实相当有用；我记得在读研究生的时候曾担心过一段时间这种问题。 — 
@FarmerS 嗯，你一定很清楚，我们经常要教授一些我们并不擅长的领域的课程。在这种情况下，相信伟大数学家写的书是合理的，有时很难发现错误——因为我们通常不会期待它们，对吧？我曾遇到过一位教授，她真的因为一个学生在交换代数课上告诉她阿蒂亚-麦克唐纳的这个说法是错误的而生气。幸运的是，我能告诉他“你是对的”。 — 
好吧，我仍然不清楚你在我的评论中引用的问题是什么意思，特别是“为什么不是每个人都这样做？”。谁是真正的“每个人”，“这”到底是什么？例如，每个人=数学家还是类似的东西？“这”是否指出并解决容易指出和解决的错误？ —

Accepted Answer

这就是勘误表的用途。

您给出的例子明显不准确，但影响不大，因为正如您所展示的，只需进行一点文献搜索，就不难找到正确的版本——要么是正确的证明填补了空白，要么是正确的陈述来反驳错误的主张。它们不会对依赖虚假主张造成任何现实风险，不会污染未来的工作；因此，没有必要主动公布更正，例如反驳论文或撤回请求（就像人们对待一些更大的错误一样，比如研究论文中严重的错误主张，或者已经广泛传播的误解）。所以大多数情况下，答案是在自己的脑海中修复更正，然后放松；这不是什么大问题。

不过，将更正记录在容易找到的地方当然很有用，这样任何其他质疑该说法并寻求澄清的读者都可以找到它。在互联网出现之前，这通常由作者收集此类错误/更正的列表，然后出版商将这些列表打印出来作为书籍后续印刷品/版本的补充。如今，互联网允许更灵敏地在线完成此操作，但仍然遵循大致相同的模板：许多书籍在某处都有在线勘误表，有时由作者维护（例如维护），有时由第三方维护，有时由集体维护（例如维护）。因此，如果您能找到这样的勘误表，而您的更正不在那里，请将其发送给维护者，以便他们在更新列表时添加它，或者如果列表是可公开编辑的，您可以自己添加它。

感谢您的回答，感谢您对学生的同情，他们并不总是有办法知道他们正在努力解决的一些证明只是不精确的。我基本同意你的观点，教科书中的这种错误不会通过数学实践传播，基础问题除外。我看到聪明人对哥德尔不完全性定理说的胡言乱语的数量令人震惊。 — 
@jg1896：我认为关于哥德尔不完备性和其他基础问题的常见误解是一种略有不同的现象。根据我的经验，它们通常不是来自有关该主题的书籍中的特定错误——它们来自学生/非专业人士自发地误解了元数学含义（这些含义很微妙，与数学家训练有素的思考方式略有不同，因此任何教科书都很难完全预防），然后在普及或非正式论坛中重复出现，而不是在教科书中。 —

Answer 2

格罗莫夫的经典“绿皮书” 《黎曼空间的度量结构》包含许多不精确的陈述。潘苏（与拉方丹共同编辑了这本书）曾经告诉我，人们自然而然地希望作者“保证售后服务”。最终出现了一个扩展版，标题为《黎曼空间和非黎曼空间的度量结构》，它纠正了一些不精确的陈述。然而，（至少）有一个不精确的陈述仍然存在，涉及 2 形式楔积的孔径范数的估计。正如中链接的文章所讨论的那样，最近对此进行了更正。

在数学中，我们特别关注这种不精确，因为我们中的许多人对数学抱有理想主义的观念，但当然在精确科学的其他领域，这种错误相当常见，最终没有理由认为数学应该有所不同。在尚未被充分理解的领域中，重要的开创性工作必然会包含此类错误，但这不会降低工作的重要性。但即使是布尔巴基的工作也包含此类错误，正如 Adrian Mathias 所讨论的，并在 MSE 和 MO 中得到广泛评论。

期望数学可以不同于其他科学（比如物理学）并不是理想主义，因为这确实是事实，希腊人首先注意到了这一点，而弗雷格之后的伟大逻辑学家也完善了这一点。数学是人类唯一一项最终可以由计算机公正地决定证明真假的事业。遗憾的是，康德或奎因等哲学家比一些数学家更欣赏数学推理的认识论品质 — 
好的，请让我知道你如何确定连续统假设的真假。 — 
也许你可以谷歌一下“休·伍丁”，看看他在做什么，然后自己回答这是数学还是神学，正如保罗·戈登曾经说过的。你很可能会发现，不是神学，而是哲学都有其优点。 — 
Wooding 的提议很有趣，但我的印象是，当今大多数逻辑学家认为，与纯算术（一阶）语句不同，像 CH 这样的句子不具备首选真值。 — 
确实如此，但你似乎在这里改变了目标。CON(ZFC) 被认为具有首选真值（即“真”），但根据许多逻辑学家（包括 MO 的主要贡献者 🙂 的说法，CH 没有。 —

软问题 – 古典书籍中不精确或不正确的陈述和证明的例子（以及如何解决） – MathOverflow

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软问题 – 古典书籍中不精确或不正确的陈述和证明的例子（以及如何解决） – MathOverflow

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