从量子场论的路径积分可得:
Z=\int D\phi e^{-S[\phi]}
当我们长时间研究理论时,一个很好的论点是什么电视电视T,其行为如下:
Z \to e^{-TE_0}
在哪里埃0埃0E_0是系统的最小能量。
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最佳答案
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简而言之,标准论点是
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路径积分形式和具有幺正时间演化的 Minkowskian 签名中的算子形式之间的对应关系;
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Wick 将对应关系的两边旋转为欧几里得签名;
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(可选)与统计力学中的一致,其中欧几里得时间成为温度的倒数ββ\beta;
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取极限
是 = 負責H埃− βH^∼埃− β埃0为了β→ ∞是 = 电视rH埃−βH^∼埃−β埃0为了β→∞,Z~=~{\rm Tr}_{\cal H}e^{-\beta \hat{H}}\quad\sim\quad e^{-\beta E_0}\quad\text{for}\quad\beta\to\infty,
在哪里埃0埃0E_0是基态。
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路径积分和算子形式对应关系表明,对于欧几里得时间吨吨t,
Z=\int D\phi e^{-S[\phi]}\leftrightarrow Z~=~{\rm Tr}_{\cal H}(e^{-t\hat{H}})
固定正交基{ | n⟩}n∈H{|n⟩}n∈H\{|n\rangle\}_{n}\in \mathcal{H}对于理论的希尔伯特空间。然后利用以下恒等式
\langle m|n\rangle = \delta_{mn}\quad\space \sum_{n}|n\rangle\langle n| = \hat{\text{I}}
我们可以得到特征态的谱分解H| n⟩=埃n| n⟩H|n⟩=埃n|n⟩H|n\rangle = E_n|n\rangle
e^{-tH} = e^{-tH}\biggr(\sum_{n}|n\rangle\langle n|\biggr) = \sum_{n}e^{-tH}|n\rangle\langle n| = \sum_{n}e^{-tE_n}|n\rangle\langle n|
这引导我们
{\rm Tr}_{\cal H}(e^{-t\hat{H}}) = \sum_{n}e^{-tE_n} = e^{-tE_0}\biggr(1+\sum_{n}e^{-t(E_n-E_0)}\biggr)\sim e^{-tE_0}\quad(t\rightarrow\infty)
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我假设你指的是虚时间电视电视T。在这种情况下,路径积分等于配分函数(其中电视= β电视=βT=\beta),正如其他人所指出的那样。然后,让HHH是
H=\sum_n E_n \Pi_n,
在哪里ΠnΠn\Pi_n是(不一定是一维的)特征投影函数。然后,对特征值进行排序HHH,{埃n}{埃n}\{E_n\},按升序排列:埃0<埃1<埃2< …埃0<埃1<埃2<…E_0 < E_1 < E_2<\ldots,并且退化为Gn= TrΠnGn=电视rΠng_n=\mathrm{Tr} \Pi_n, 我们有
\begin{align}
Z &= \mathrm{Tr} e^{-\beta H}\\
&= \sum_{n=0} g_n e^{-\beta E_n}\\
&= e^{-\beta E_0} g_0 \left (1+ \sum_{n=1} e^{-\beta \Delta_n} g_n/g_0 \right )\\
&= e^{-\beta E_0} g_0 \left (1+ e^{-\beta \Delta_1} g_1/g_0 + O(e^{-\beta \Delta_2}) \right ),
\end{align}
有效期β→ ∞β→∞\beta\to \infty并已定义Δn:=埃n−埃0> 0Δn:=埃n−埃0>0\Delta_n := E_n-E_0>0. 通常基态是非简并态,即G0= 1G0=1g_0=1,从而得出你的方程(ββ\beta是虚时间)。
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