对于术语不一致的情况，我们深表歉意，因为我正在阅读一本中文统计和概率教科书，同时在一本英文百科全书中查找内在函数。
当我阅读连续随机变量的期望值（根据我的教科书也称为平均值）的定义时，出现了这个问题XXx即：
E(X)=\int^{\infty}_{-\infty}xf(x)\text{d}x
在哪里XXx是随机变量，F（X ）F（X）f(x)是概率密度函数。
一开始，我无法理解它的含义：它是 3 个变量的乘积（我知道dxdX\text{d}x是一个特殊符号，但让我们假设我们正在通过将其设置为一个非常小的值来进行强力计算）——这意味着单位一定非常奇怪。我所说的单位是指米、秒、千克等。（我知道这三个都应该来自实数集，但让我们假设它们具有编程语言变量之类的类型）。
但后来我又想：dxdX\text{d}x不需要有单位——它只需要接近一个非常小的值，同时确保一切一致。
那么问题：我对预期值公式的解释是否合理可靠？变量及其微分是否可以有不同的单位（例如，一个有单位，而另一个有另一个单位或完全没有单位）？
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最佳答案
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不，即使dxdX\mathrm{d}x表示无穷小量，其单位必须与XXx.此外，作为密度，F（X ）F（X）f(x)将显示的倒数单位XXx. 因此，如果[ X][X][X]表示变量的单位XXX，则有：
[\Bbb{E}(X)] = [x]\cdot[f(x)]\cdot[\mathrm{d}x] = [X]\cdot[X]^{-1}\cdot[X] = [X]
毫不奇怪，XXX拥有与XXX。
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谢谢。密度函数的单位是我遗漏的。太频繁了F（X ）F（X）f(x)以百分比来思考——即无单位。
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有趣的观点，尽管也存在一些像您所遇到的逻辑问题。
“在积分中，微分可以无单位而变量有单位吗？”：不能
我们有ΔxΔX\Delta x追踪微小的变化XXx.这让我们计算x + Δ xX+ΔXx + \Delta x
当音量五五v在米3米3m^3变化，微小的变化ΔvΔ五\Delta v必须在米3米3m^3，这将使我们能够计算垂直方向五+Δ五v + \Delta v在米3米3m^3
什么时候吨吨t在sss变化，小的变化必须是sss，这将使我们能够计算t + Δ t吨+Δ吨t + \Delta t在sss
如果单位不匹配，这种计算将毫无意义：我们不能将有单位的数字加到没有单位的数字上。
我们可以通过两种方法避免该问题。
（1）两者具有相同的单位：
XXx&ΔxΔX\Delta x有相同的单位米3米3m^3，sss，⋯⋯\cdots
这将允许我们添加XXx&ΔxΔX\Delta x
虽然某些事情会成功，但它会使系列计算变得复杂1 + x +X2+X3⋯ = 1 /（1 − x ）1+X+X2+X3⋯=1/（1−X）1+x+x^2+x^3\cdots=1/(1-x)
虽然还需要做更多的工作，但这一复杂问题可以得到解决。
基本上，我们必须确保存在某些系数，例如A1x +X2X2+A2X3⋯A1X+X2X2+A2X3⋯a_1x+x_2x^2+a_2x^3\cdots这些系数（应该有必要的单位）会把所有项转换为某些通用单位，让我们可以添加这些项。
你的 Integral 可以使用相同的思维：
在你的 Integral 中，XXx&ΔxΔX\Delta x将具有相同的单位，而“密度”函数必须采用倒数单位。
因此，整体单位将是一致的：埃（X ）埃（X）E(x)&XXx将具有相同的单位。
（2）两者都无单位：
另一种方法是让所有变量不带单位。当我们想要计算面积或体积或其他东西时，我们从变量中删除单位，然后进行计算，然后再添加单位。
与系列计算一样，计算没有任何复杂性1 + x +X2+X3⋯ = 1 /（1 − x ）1+X+X2+X3⋯=1/（1−X）1+x+x^2+x^3\cdots=1/(1-x)
您的 Integral 可以使用相同的思维：
所有术语XXx，ΔxΔX\Delta x，F（X ）F（X）f(x)没有单位。
进行计算，然后在需要时引入相关单位。
这样我们就可以讨论任意项，例如埃（x +X2）埃（X+X2）E(x+x^2)，埃（x + 1 / x ）埃（X+1/X）E(x+1/x)，埃（X−−√+埃X）埃（X+埃X）E(\sqrt{x}+e^x)例如，不会失去一致性。
这两种方式都很常见，可以在适当的地方使用。
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