Question

我一直在尝试通过 YouTube 上的“数学的光明面”系列视频学习朴素集合论。到目前为止，我已经能够理解后继映射和 $N_{0}$ \mathbb{N}_{0}。我现在已经知道他对加法的定义。他的定义如下：

$加法是一张地图否 0 \times 否 0 \to 否 0$
\text{Addition is a map } \mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{N}_{0}

$（米， n ） \mapsto 米 + n$
(m,n) \mapsto m + n
他还给出了以下内容：

$米 + 0 : = 米$
m+0:=m

$m + s （ n ）： = s （ m + n ）$
m + s(n) := s(m+n)

我能够理解他是如何得出这些结论的，因为他在视频中很好地解释了这些结论。然而，在我看来，这似乎是循环论证。你如何用 $+$ +符号，这不是违背定义的目的吗？

在进一步研究的过程中，我找到了以下文章：。然而，作为一个完全的初学者，上面的答案对我来说没有多大意义，我想知道是否有人不使用加法来定义加法 $+$ +（或者这是否可能）？

它是完成的。一旦你知道了什么 $m + n$ m+n意味着你可以定义什么 $m + (n + 1)$ m+(n+1)方法。 — 
你可以通过递归方程来思考这个定义（涉及 $+$ +在右边）被证明是合理的，或者说是语法糖，是“真正的”定义 $+$ +，用类型论的语言来说，就像 $+ = λ m . {rec}_{N} (m, λ x . s x)$ + = \lambda m. \text{rec}_\mathbb{N}(m, \lambda x. s\ x)换句话说，递归定义就是这些方程的解。 — 
“你怎么能用 + 符号来定义加法呢？这不是违背定义的目的吗？”好问题！但这不是循环的。加号只是一个用来表示抽象函数的符号。如果我们调用该函数： $f : N_{0} \to N_{0}$ f:\mathbb N_0\to \mathbb N_0通过 $f (m, 0) = m$ f(m,0)=m和 $f (m, s (n)) = s (f (m), n)$ f(m,s(n))= s(f(m),n)这 $+$ +只不过是我们定义的符号“ $a + b$ a + b“意味着简单地 $f (a, b)$ f(a,b)。这是一种直观有用的符号，就像我们在学习函数之前学习二元运算一样，尽管二元运算只是函数的一种类型。 —

Accepted Answer

这个定义中看似循环，其实是假象。可以证明存在一个独特的函数 $f : N \times N \to N$ f:\mathbb N\times\mathbb N\to \mathbb N使得

F （ 米 ， 0 ） F （ 米 ， 秒 （ n ） ） = 米 ， = s (f （ 米 ， ñ ） ） ， （1） （2）

\begin{align}
f(m,0) &= m \, , \tag{1}\label{1}\\
f(m,s(n)) &= s(f(m,n)) \, , \tag{2}\label{2}
\end{align}
对全部 $m, n \in N$ m,n\in\mathbb N。一旦我们确定了这一事实，定义 $+$ +作为这个独特的功能。这与定义 $e^{x}$ e^x作为初值问题的解 $y^{'} = y, y (0) = 1$ y’=y,\, y(0)=1，前提是我们知道 (a) 这样的解存在，并且 (b) 它是唯一的。

那么我们如何证明 $f$ f? 由于所讨论的定理非常基础，因此答案对您使用的基础系统很敏感。如果您在集合论环境中工作，那么您通常会诉诸以下内容。

递归定理。如果 $a$ a是集合的一个元素 $X$ X，和 $g : X \to X$ g:X\to X是一个函数，那么存在一个唯一的函数 $u : N \to X$ u:\mathbb N\to X使得 $u (0) = a$ u(0)=a和 $u (s (n)) = g (u (n))$ u(s(n)) =g(u(n))对全部 $n \in N$ n\in\mathbb N。

递归定理的证明可以在 Halmos 的书《朴素集合论》（第 12 节，第 48 页）以及其他一些关于数理逻辑和集合论的书籍中找到。证明中涉及的几乎所有工作都用于实际构建函数 $u$ u；唯一性断言只是一种常规归纳。

一旦我们掌握了递归定理，我们就可以按如下方式进行。对于每个 $m \in N$ m\in\mathbb N，我们让 $s_{m} : N \to N$ s_m:\mathbb N\to\mathbb N是满足的唯一函数 $s_{m} (0) = m$ s_m(0)=m和 $s_{m} (s (n)) = s (s_{m} (n))$ s_m(s(n))=s(s_m(n))对全部 $n \in N$ n\in\mathbb N。然后，我们定义 $f : N \times N \to N$ f:\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N经过 $f (m, n) = s_{m} (n)$ f(m,n)=s_m(n)。很清楚 $f$ f满足 $(1)$ \eqref{1}和 $(2)$ \eqref{2}，并归纳 $n$ n表明最多有一个函数具有此属性。因此，我们的定义 $+$ +是连贯的。

Answer 2

这 $+$ +符号是“中缀”函数定义
$+ : N_{0} \times N_{0} \to N_{0}$ +: \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0。与普通函数唯一的区别是，对于 $m, n \in N_{0}$ m,n \in \mathbb{N}_0而不是写作 $+ (m, n)$ +(m,n)我们写 $m + n$ m + n（中缀表示法）。请注意，您可以使用除 $+$ +例如只需调用它 $A D D$ \mathrm{ADD}。此外，您不需要使用中缀表示法。

这个定义本质上是递归的。设 $m \in N_{0}$ m \in \mathbb{N}_0假设我们想计算 $m + s (0)$ m + s (0).然后根据定义

m + s （ 0 ） = s （ m + 0 ） = s （ m ） 。

m + s(0) =s( m+ 0) = s (m).

以同样的方式（使用上面的公式得出第二个等式）：

m + s (s (0)) = s (m + s (0)) = s (s (m))

m+ s(s(0)) = s (m + s(0) ) = s( s(m))
不难理解，我们可以计算 $m + n$ m+n这样对于任何 $n \in N_{0}$ n \in \mathbb{N}_0简单地表达为 $n$ n继任者 $0$ 0.因此递归定义的函数 $+$ +定义明确。

我明白，但是有没有办法把这个写成逻辑语句？换句话说，你会怎么说 $n$ n第一位继任者 $0$ 0带有逻辑陈述？ —

Answer 3

我们可以用类似于定义的方式定义它 $N_{0}$ \mathbb{N}_0—作为具有某些属性的最小集合。设

φ （ u ） = (\forall x \in 否 0) (x, 0, x) \in u \land (\forall x y 是 \in 否 0 ） （ （ x ， y, z) \in u \to (x, s (y), s (z)) \in u),

\begin{align}
\varphi(u) &= (\forall x \in \mathbb{N}_0) (x, 0, x) \in u\\
&\quad \wedge (\forall xyz \in \mathbb{N}_0)((x, y, z) \in u \to (x, s(y), s(z)) \in u),
\end{align}
然后让 $δ (y) = φ (y) \land \forall z (φ (z) \to y \subseteq z)$ \delta(y) = \varphi(y) \wedge \forall z (\varphi(z) \to y \subseteq z)。然后我们可以使用集合论的公理来证明 $\exists! y δ (y)$ \exists! y \, \delta(y)，这证明了定义符号 $+$ +经过 $y = + \leftrightarrow δ (y)$ y = {+} \leftrightarrow \delta(y)。然后我们采用简写， $x + y = z$ x + y = z意思是 $(x, y, z) \in +$ (x, y, z) \in {+}。

用文字来说，上述定义是 $+$ +是自然数有序三元组的最小集合，满足 $(x, 0, x) \in +$ (x, 0, x) \in {+}对于每个自然数 $x$ x，并且每当 $(x, y, z) \in +$ (x, y, z) \in {+}，我们还有 $(x, s (y), s (z)) \in +$ (x, s(y), s(z)) \in {+}。

使用简写符号，口头描述更加清晰。在这种情况下， $+$ +是自然数有序三元组的最小集合，满足 $x + 0 = x$ x + 0 = x对于每个自然数 $x$ x，并且每当 $x + y = z$ x + y = z，我们还有 $x + s (y) = s (z)$ x + s(y) = s(z)。

逻辑 – 我们如何定义加法？ – 数学

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