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XXXY是 Banach 空间,并设电视X电视XT:X\to Y是有界线性算子,使得电视年代X电视年代XT(S_X)已关闭Y。这是否意味着电视X电视XT(X)已关闭?如有任何提示,我们将不胜感激。

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最佳答案
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一般来说,答案是否定的(但不难检查,对于注入运算符来说,答案是否定的)。

反例。
HHH是希尔伯特空间,并且电视0H电视0HHT_0: H \to H具有非闭范围的有界线性算子。考虑算子电视H××电视H×HH×HT: H \times H \to H \times H给出电视x , y) = (电视0x , 0 )电视X=电视0X0T(x,y) = (T_0 x, 0)对全部坐标∈HXHx,y \in H, 在哪里H×H×HH \times H被赋予了,比如说,通常的规范HHH变成H×H×HH \times H到希尔伯特空间。电视电视T电视0H× { 0 }电视0H×{0}(T_0 H) \times \{0\},所以它不是封闭的。

然而,现在让我们来证明电视年代H×) =电视0H× { 0 }电视年代H×H=电视0H×{0}T(S_{H \times H}) = T_0(B_H) \times \{0\}, 在哪里HHB_H表示封闭单位球HHH. 包容性”\subseteq“很明显。对于逆包含”\supseteq“, 拿x∈HXHx \in B_H.然后人们可以选择HHy \in B_H使得x , y) 年代H×X年代H×H(x,y) \in S_{H \times H}因此电视0x , 0 ) = Tx , y) T年代H×电视0X0=电视X电视年代H×H(T_0 x, 0) = T(x,y) \in T(S_{H \times H})

自从HHH是自反的,集合HHB_H是弱紧的。由于电视0电视0T_0相对于弱拓扑是连续的,因此电视0H电视0HT_0(B_H)也是弱紧的,因而是弱闭的,因而是封闭的。因此,电视年代H×) =电视0H× { 0 }电视年代H×H=电视0H×{0}T(S_{H \times H}) = T_0(B_H) \times \{0\}已关闭H×H×HH \times H

注:当然,也可以用其他自反 Banach 空间进行类似的构造。

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泛函分析充斥着 Banach 空间对,其中第一个空间连续嵌入第二个空间,使得第一个空间的单位球在第二个空间中封闭,以至于它们成为了它们自己的理论的基础——混合拓扑或两个范数空间,这些理论非常突出,以至于有自己的 MOS 分类部分 (46A70)。它们第一次被使用可能是在 Saks 关于后来被称为 Vitali-Hahn-Saks 定理的开创性论文中,他依赖于这样一个事实:大号大号L^\infty完成于大号1大号1L^1-norm—因此使用“Saks 空间”这个名称。

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    这当然是正确的,但我认为它没有回答问题。OP 希望单位球面的图像是封闭的(而不是单位球的图像)。Banach 空间的嵌入不能作为反例,因为对于单射算子,OP 问题的答案是“是”。
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    (无论如何,我投了赞成票,因为我认为这篇文章为这个问题提供了非常相关的背景信息。)
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    抱歉,把球体和球弄混了——谢谢
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