让XXX和是是Y是 Banach 空间,并设电视:X→是电视:X→是T:X\to Y是有界线性算子,使得电视(年代X)电视(年代X)T(S_X)已关闭是是Y。这是否意味着电视(X)电视(X)T(X)已关闭?如有任何提示,我们将不胜感激。
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最佳答案
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一般来说,答案是否定的(但不难检查,对于注入运算符来说,答案是否定的)。
反例。
设HHH是希尔伯特空间,并且电视0:H→韓电视0:H→HT_0: H \to H具有非闭范围的有界线性算子。考虑算子电视:H×高→韓×高电视:H×H→H×HT: H \times H \to H \times H给出电视(x , y) = (电视0x , 0 )电视(X,是)=(电视0X,0)T(x,y) = (T_0 x, 0)对全部坐标∈HX,是∈Hx,y \in H, 在哪里H×高H×HH \times H被赋予了,比如说,通常的规范HHH变成H×高H×HH \times H到希尔伯特空间。电视电视T是(电视0H)× { 0 }(电视0H)×{0}(T_0 H) \times \{0\},所以它不是封闭的。
然而,现在让我们来证明电视(年代H×高) =电视0(乙H)× { 0 }电视(年代H×H)=电视0(乙H)×{0}T(S_{H \times H}) = T_0(B_H) \times \{0\}, 在哪里乙H乙HB_H表示封闭单位球HHH. 包容性”⊆⊆\subseteq“很明显。对于逆包含”⊇⊇\supseteq“, 拿x∈乙HX∈乙Hx \in B_H.然后人们可以选择是∈乙H是∈乙Hy \in B_H使得(x , y) ∈年代H×高(X,是)∈年代H×H(x,y) \in S_{H \times H}因此(电视0x , 0 ) = T(x , y) ∈ T(年代H×高)(电视0X,0)=电视(X,是)∈电视(年代H×H)(T_0 x, 0) = T(x,y) \in T(S_{H \times H})。
自从HHH是自反的,集合乙H乙HB_H是弱紧的。由于电视0电视0T_0相对于弱拓扑是连续的,因此电视0(乙H)电视0(乙H)T_0(B_H)也是弱紧的,因而是弱闭的,因而是封闭的。因此,电视(年代H×高) =电视0(乙H)× { 0 }电视(年代H×H)=电视0(乙H)×{0}T(S_{H \times H}) = T_0(B_H) \times \{0\}已关闭H×高H×HH \times H。
注:当然,也可以用其他自反 Banach 空间进行类似的构造。
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泛函分析充斥着 Banach 空间对,其中第一个空间连续嵌入第二个空间,使得第一个空间的单位球在第二个空间中封闭,以至于它们成为了它们自己的理论的基础——混合拓扑或两个范数空间,这些理论非常突出,以至于有自己的 MOS 分类部分 (46A70)。它们第一次被使用可能是在 Saks 关于后来被称为 Vitali-Hahn-Saks 定理的开创性论文中,他依赖于这样一个事实:大号∞大号∞L^\infty完成于大号1大号1L^1-norm—因此使用“Saks 空间”这个名称。
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这当然是正确的,但我认为它没有回答问题。OP 希望单位球面的图像是封闭的(而不是单位球的图像)。Banach 空间的嵌入不能作为反例,因为对于单射算子,OP 问题的答案是“是”。
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(无论如何,我投了赞成票,因为我认为这篇文章为这个问题提供了非常相关的背景信息。)
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抱歉,把球体和球弄混了——谢谢
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