Question

一套 $x$ x当每个成员后代 $x$ x（包括 $x$ x“本身”是可数的。

在中，Jech 在 ZF 中证明了所有遗传可数集的类都是一个集合。（有关此结果的展开，请参阅、和

这可以在使用 Aczel 的 Antifoundation 而不是 Foundation 的 ZF 变体中显示吗？

另一个我认为等价的问题是：ZF 是否证明了可数幂集函子的最终余代数的存在？

你指的是哪一个反基础公理，阿克泽尔的？（还有其他的。） — 
ZFA 也用于原子。我从 Thomas Forster 那里学到了“Anti-ZF”。 — 
@JoelDavidHamkins 啊，是的，ZFC + 一类适当的 urelements（无限的toms :P）。 — 
好吧，鉴于此，我收回我之前的让步。由于我更喜欢称它们为原子，而不是原元素，因此今后我将使用 ZFA 表示包含原子的集合论。如果您想要 Aczel 的理论，您必须为公理写 AFA，为理论写 ZFAFA 或类似的东西。向 Forster 致歉，我发现 Anti-ZF 是行不通的，因为它甚至没有提及有根据的问题，并且表达了对 ZF 不必要的否定。 — 
Jech 的论点很大程度上依赖于对遗传可数集的等级的明确描述，以便获得上限，因此无论如何我都不会期望它能够轻易地推广到涵盖这种情况。 —

Answer 1

更新。这个答案并没有回答所提出的问题，因为 Jech 使用的是在我看来是遗传可数的特殊定义。但经过深思熟虑，我发现他的定义在没有 AC 的背景下完全自然。也就是说，他定义一个集合是遗传可数的，当它是可数的并且传递闭包的每个元素都是可数的。简而言之，集合本身和其中遗传出现的每个集合都是可数的。（这并不等同于说集合的传递闭包是可数的，即使在 ZF 中也是如此，正如 Jech 所证明的那样。）

如果这个问题可能得到否定的答案，我怀疑答案将通过找到一个 ZF 模型（其中 AC 严重失效）并用它来解释一个 ZFA 模型（其中存在适当类的不等价可访问尖点图，使得每个节点只有可数个子节点）来得出。我想知道 Gitik 的模型（其中每个无限极限序数都具有共终性）是否 $ω$ \omega，将会对此有所帮助。

原始答案：

在 ZFA 中，每个集合都由底层可访问的点图决定， $\in$ \in关于传递闭包的关系，AFA 公理断言同构图将产生相同的集合。

因此，遗传可数集将由可数图产生，根据您提到的论证，可数图是一个集合。因此，在 ZFA 中，遗传可数集将形成一个集合。

有趣的是，由于可数，任何遗传可数集的底层图都可以在宇宙的良基部分内实现，即使它们命名的集合不是良基的。因此，ZFA 中的遗传可数集源自良基遗传可数集的功能图像，即上的图关系 $ω$ \omega。

这个论点在 Boffa 反基础理论中根本行不通，该理论有一类不同的 Quine 原子，它们都是可数的。然而，即使在该理论中，同构之前也只有一组遗传可数集，因为它们由底层图关系决定。

表示遗传可数集 x 的尖角图由 {x} 的传递闭包给出，但无法证明其可数。 — 
? 我认为一个集合是遗传可数的意味着它的传递闭包是可数的。这意味着 $TC ({x})$ \text{TC}(\{x\})也是可数的，因为只剩下一个点了。 — 
哦，这不是我所说的可数遗传。我必须编辑这个问题。 — 
请参阅 Jech 论文的第一句话。我使用了他的定义。 — 
归根结底，这是一个非 AC 问题，而不是反基础问题，因为我的答案在 ZFCA 中非常有效。如果可能的话，您需要为反例做一个非常糟糕的 ZF 模型，其中 AC 失效，并用它来解释同样糟糕的 ZFA 模型。 —

ct.category 理论 – 反基础 ZF 中的遗传可数集 – MathOverflow

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