Question

在《热物理学导论》第 235 页中，施罗德想要评估配分函数

是 全部 ​ ​ = \sum 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T

Z_{tot}=\sum_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}

在极限情况下 $k T ≫ ϵ$ kT\gg\epsilon，因此他写道

是 全部 ​ ​ \approx \int \infty 0 （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T d 杰

Z_{tot}\approx\int_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}\,dj

但这怎么正确呢？没有 $j$ j可以替换为 $d j$ dj。另外， $j$ j只是一个数字，否则即使是尺寸 $Z_{t o t}$ Z_{tot}是错误的。

到目前为止，您做了什么来研究这个问题？您研究过黎曼和吗？ — 
@user121330 是的，我已经研究过这些，但正是因为它们是面积的总和，所以有一个额外的“长度”因素（这里是 dj），我对此有疑问。 —

Answer 1

$是全部 = \sum 0 \infty （ 2 j + 1 ）埃 - j (j + 1) ϵ / k T$
Z_{tot}=\sum_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}

在极限情况下 $k T ≫ ϵ$ kT\gg\epsilon，因此他写道

$是全部 \approx \int \infty 0 （ 2 j + 1 ）埃 - j (j + 1) ϵ / k T d 杰$
Z_{tot}\approx\int_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}\,dj

但这怎么正确呢？没有 $j$ j可以替换为 $d j$ dj。

因素 $j$ j总之转化为因素 $j$ j在积分中，不是因数 $d j$ dj。这 $d j$ dj术语基本上只是为了提醒我们虚拟积分变量是 $j$ j。

如果这让你更舒服，你可以自由定义 $Δ j = 1$ \Delta j = 1和写：

是 全部 ​ ​ = \sum 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T

Z_{tot}=\sum_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}

= \sum 0 \infty 1 (2 j + 1) 埃 - j (j + 1) ϵ / k T

=\sum_0^\infty 1(2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}

= \sum 0 \infty Δj （ 2j + 1 ） ​ ​ 埃 - j (j + 1) ϵ / k T

=\sum_0^\infty \Delta j(2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}

另外， $j$ j只是一个数字，否则即使是尺寸 $Z_{t o t}$ Z_{tot}是错误的。

是的。那很好，不是吗？

如果感兴趣的求和变量恰好有维度，那么您需要引入一些具有相同维度的常数，以便从求和到积分。但是，您的求和/积分变量已经是无维度的，因此在这种情况下您不必担心这一点。

我关于维度的陈述恰恰是为了指出这种方法的难度。为了论证的目的，让 $j = ϵ$ j=\epsilon，所以 $j$ j现在有维度了。我认为这不会影响上述将和转化为积分的方法，但现在两边的维度不一样了。 — 
@GedankenExperimentalist 你不能做这样的替换（ $j \to ϵ$ j\to\epsilon)，因为指数的参数会有维度，这是不允许的。一般来说，如果你要求和的东西有维度，那么你需要引入一些具有相同维度的常数，以避免你在过渡到积分时担心的问题。但你的求和变量已经没有维度了，所以你不必担心。 —

Answer 2

因此指出，如果我们划分一个区间 $(a, b)$ (a, b)进入 $N + 1$ N + 1等距点，

Δx = ​ b - a 否 ， X 钾 = a + k Δ x ，

\Delta x = \frac{b – a}{N},~~~x_k = a + k~\Delta x,
然后

\int b A d x f （ x ） = Δx ​ \sum k = 0 否 F （ X 钾) - Δ x F （ a ） + f （ 二 ） 2 - （ b - a ） （ Δx ​ ） 2 12 F'' (ξ ）

\int_a^b \mathrm dx ~f(x) = \Delta x\sum_{k=0}^{N} f(x_k) – \Delta x~\frac{f(a) + f(b)}{2} – \frac{(b – a) (\Delta x)^2}{12} f”(\xi)
对于一些 $ξ$ \xi在 $(a, b) .$ (a, b).

通常我们用这个“远期”来评估 $\int d x f (x)$ \int \mathrm dx ~f(x)但你的教科书作者却用“倒着”的方式 $Δ x$ \Delta x固定为 $1$ 1却发现，

\sum k = 0 否 F （ k ） = \int b A d x f （ x ） + F （ 0 ） + f （ 否 ） 2 + 否 12 F'' （ 名词 ）

\sum_{k=0}^{N} f(k) = \int_a^b \mathrm dx ~f(x) + \frac{f(0) + f(N)}{2} + \frac{N}{12} f”(n)
对于一些 $0 < n < N .$ 0 < n < N.

如果要这样做，需要稍微小心一点，以确保右边的积分增长速度比 $N f^{″} (n)$ N~f”(n)误差项是，因此相对误差不会太大。但这是使用该方程的完全有效的数学方法。很容易忘记，值得强调的是，在数学中，等号通常没有方向。如果 $a = b$ a = b，那么你也可以说 $b = a$ b = a。这两个表达式只是对同一结果数的不同称呼或计算方法。

Answer 3

以下是作为一名数学家的回答。

你的情况是你想比较

\sum j = 0 \infty F s （ 十 ） 和 \int \infty 0 F s （ 吨 ） d 吨,

\sum_{j=0}^\infty f_s(j)\qquad\text{ and} \qquad \int_0^\infty f_s(t)\,dt,

在哪里 $f_{s} (t)$ f_s(t)是一个随 $t$ t，和 $f_{s} (0) = 1$ f_s(0)=1对全部 $s$ s，并且 $lim_{s \to 0} f_{s} (t) = 0$ \lim_{s\to0}f_s(t)=0对全部 $t > 0$ t>0。在这种情况下，你必须

林 秒 \to 0 \sum j = 0 \infty F s （ j ） = - 1 + 林 秒 \to 0 \int \infty 0 F s （ 吨 ） d 吨 （1）

\tag1
\lim_{s\to0}\sum_{j=0}^\infty f_s(j)=-1+\lim_{s\to0} \int_0^\infty f_s(t)\,dt

也就是说，在原始符号中

林 ϵ / k T \to 0 \sum 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T = - 1 + 林 ϵ / k T \to 0 \int \infty 0 （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T d ， ​ （2）

\tag2
\lim_{\epsilon/kT\to0}\sum_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}
=-1+\lim_{\epsilon/kT\to0}\int_0^\infty (2j+1)e^{-j(j+1)\epsilon/kT}\,dj,

和 $- 1$ -1如果你从 $j = 1$ j=1代替 $j = 0$ j=0。

了解原因 $(1)$ (1)是正确的，首先注意

\int j + 1 杰 F s （ 吨 ） d t\leq ​ \int j + 1 杰 F s （ 十 ） d t = F s （ 十 ） ，

\int_j^{j+1}f_s(t)\,dt\leq\int_j^{j+1} f_s(j)\,dt=f_s(j),

所以

\int \infty 1 F s （ 吨 ） d t = \sum j = 1 \infty \int j + 1 杰 F （ 吨 ） d t\leq ​ \sum j = 1 \infty F s （ 十 ） ​

\int_1^\infty f_s(t)\,dt=\sum_{j=1}^\infty \int_j^{j+1}f_(t)\,dt\leq\sum_{j=1}^\infty f_s(j).

因此

∣ ∣ ∣ \sum j = 1 \infty F s （ j ） - \int \infty 1 F s （ 吨 ） d 吨 ∣ ∣ ∣ = \sum j = 1 \infty F s （ j ） - \int \infty 1 F s （ 吨 ） d 吨 = \sum j = 1 \infty \int j + 1 杰 [F s （ j ） - F s （ 吨 ）] d 吨 \leq \sum j = 1 \infty \int j + 1 杰 [F s （ j ） - F s （ j + 1 ）] d 吨 = \sum j = 1 \infty [F s （ j ） - F s （ j + 1 ）] = F s （ 1 ） ​

\begin{align}
\bigg|\sum_{j=1}^\infty f_s(j)-\int_1^\infty f_s(t)\,dt\bigg|
&=\sum_{j=1}^\infty f_s(j)-\int_1^\infty f_s(t)\,dt\\[0.2cm]
&=\sum_{j=1}^\infty \int_j^{j+1} [f_s(j)-f_s(t)]\,dt\\[0.2cm]
&\leq\sum_{j=1}^\infty \int_j^{j+1} [f_s(j)-f_s(j+1)]\,dt\\[0.2cm]
&=\sum_{j=1}^\infty [f_s(j)-f_s(j+1)]=f_s(1).\\[0.2cm]
\end{align}
作为 $f_{s} (1) \to 0$ f_s(1)\to0作为 $s \to 0$ s\to0，我们有

林 秒 \to 0 \sum j = 1 \infty F s （ j ） = 林 秒 \to 0 \int \infty 1 F s （ 吨 ） d 吨 。 （3）

\tag3
\lim_{s\to0}\sum_{j=1}^\infty f_s(j)=\lim_{s\to0} \int_1^\infty f_s(t)\,dt.

仍有待观察的是

林 秒 \to 0 - 1 + \int 10 F s （ 吨 ） d t ＝ 1。

\lim_{s\to0} -1+\int_0^1f_s(t)\,dt=1.

这里 $f_{s} (t) = (2 t + 1) e^{- t (t + 1) s}$ f_s(t)=(2t+1)e^{-t(t+1)s}.然后，用替换 $v = 2 t + 1$ v=2t+1，

\int 10 F s （ 吨 ） d 吨 = \int 10 （ 2 吨 + 1 ） 埃 - (吨 2 + t) 秒 d t = \int 20 埃 -v ​ ​ d v = 1 - 埃 - 2 秒 s - \to - 秒 \to 0 2.

\begin{align}
\int_0^1f_s(t)\,dt
&=\int_0^1(2t+1)e^{-(t^2+t)s}\,dt
=\int_0^2 e^{-vs}\,dv=\frac{1-e^{-2s}}s\xrightarrow[s\to0]{}2.
\end{align}

Answer 4

真的，为什么 $j$ j，而不是任何其他变量，例如 $ϵ$ \epsilon乃至 $T$ T。

看到，因为我们在积分中有求和变量，所以在纯和中总会有一些变量（ $Σ$ \Sigma) 也是如此。它们通常在计算总数时告知。

不是你提到的具体的分区函数，而是几乎所有的分区函数都是对系统中的微观状态进行总结的。最有可能的是，我可以说 $j$ j这里会是某种微观状态变量，对吗？

如果你想详细了解它们是如何在微观状态上进行总结的，有一个非常基本的例子（有点长）。

Answer 5

自从 $j$ j增加 $1$ 1从系列中的一项到另一项，显然它的增量也是 $Δ j = (j + 1) - j = 1$ \Delta j= \left(j+1\right) – j = 1，正确的写法是

是 全部 ​ ​ = \sum j = 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T = \sum j = 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T Δj 。 ​

\begin{aligned}
Z_\mathrm{tot} & = \sum_{j=0}^\infty(2j+1)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT} = \sum_{j=0}^\infty(2j+1)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT}\Delta j
\text{ .}
\end{aligned}

注意这个和如何对应于函数的

F （ j ） = （ 2j + 1 ） ​ 埃 - j (j + 1) ϵ / k T ，

f(j)=(2j + 1)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT}\text{ ,}

使用子区间 $j$ j宽度 $Δ j$ \Delta j。

（查看附加链接中的黄色图，其中每个子区间左极限的函数值用作每个整个相应子区间中函数的近似值，就好像该函数实际上是矩形的一样。）

在极限中 $Δ j \to 0$ \Delta j\to 0，总和将与相应的积分完全匹配，即

林 Δj \to 0 ​ \sum j = 0 \infty （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T Δj = ​ \int \infty j = 0 （ 2 j + 1 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T d 杰 。

\lim_{\Delta j\to 0} \sum_{j=0}^\infty(2j+1)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT} \Delta j=
\int_{j=0}^\infty(2j+1)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT}\,dj\text{ .}

然而，这里的情况并非如此，因为 $Δ j = 1$ \Delta j=1. 尽管如此，如果函数 $f$ f在每个间隔内变化不大 $[j, j + Δ j]$ [j,\, j + \Delta j]其中函数幅值显著（因为其中函数幅值不显著，即其中 $f (j) \approx 0$ f(j)\approx 0无论变化如何，总和中各个项的贡献都会接近于零，就像在积分中一样）。在显著量级的情况下，需要有

F （ l ） \approxf ​ （ 十 ） ， 对于 l \in [j, j + Δ j] 。

f(l)\approx f(j),\quad \text{for } l\in[j,\,j+\Delta j]\text{ .}

使用一阶泰勒展开式 $l = j$ l = j近似于 $f (l)$ f(l)，得到

F （ 左 ） \approxf ​ （ j ） + F' （ j ） \cdot （ l - j ） \approxf ​ （ j ） + （ l - j ） \cdot （ 2- ​ ϵ 気 ​ （ 2 j + 1 ） 2 ） 埃 - j (j + 1) ϵ / k T 。

\begin{aligned}
f(l) & \approx f(j) + f'(j)\cdot(l – j)
\\
& \approx f(j) + (l – j)\cdot \left(2 – \frac{\epsilon}{kT}\left(2j+1\right)^2\right)e^{-j\left(j+1\right)\epsilon/kT}\text{ .}
\end{aligned}

因此，

| f （ l ） -f ​ （ 日 ） | F （ 十 ） \leq ∣ ∣ ∣ 2 2 j + 1 - ϵ 気 ​ （ 2 j + 1 ） ∣ ∣ ∣ Δ ​    = 1 \leq ∣ ∣ ∣ 2 2 j + 1 - ϵ 気 ​ （ 2 j + 1 ） ∣ ∣ ∣

\begin{aligned}
\frac{\left|f(l)-f(j)\right|}{f(j)} &\le \left|\frac{2}{2j + 1} – \frac{\epsilon}{kT}\left(2j+1\right)\right|\underbrace{\Delta j}_{=1}
\\
& \le \left|\frac{2}{2j + 1} – \frac{\epsilon}{kT}\left(2j+1\right)\right|
\end{aligned}

由此可得 $\frac{| f (l) - f (j) |}{f (j)} \approx 0$ \frac{\left|f(l)-f(j)\right|}{f(j)} \approx 0如果 $j ≪ k T / ϵ$ j\ll kT/\epsilon，但 $\frac{| f (l) - f (j) |}{f (j)} ≳ 1$ \frac{\left|f(l)-f(j)\right|}{f(j)} \gtrsim 1如果 $j ≳ k T / ϵ$ j\gtrsim kT/\epsilon，这意味着函数的变化 $f$ f与函数幅值相比， $j ≳ k T / ϵ$ j\gtrsim kT/\epsilon尽管如此，如果对于这样的区域，幅度可以忽略不计，则近似和积分仍然有效。

出色地，

F (j \sim 気 ​ ϵ) \sim 気 ​ ϵ 埃 -kT ​ ​ / ϵ 。

f(j\sim \frac{kT}{\epsilon})\sim\frac{kT}{\epsilon}e^{-kT/\epsilon}\text{ .}

自从 $e^{- k T / ϵ}$ e^{-kT/\epsilon}增长速度更快 $0$ 0比 $\frac{k T}{ϵ}$ \frac{kT}{\epsilon}到 $\infty$ \infty，有 $f (j \sim \frac{k T}{ϵ}) \approx 0$ f(j\sim \frac{kT}{\epsilon})\approx 0. 函数幅值为 $j ≳ \frac{k T}{ϵ}$ j\gtrsim \frac{kT}{\epsilon}会比以前的值小得多。事实上，最大幅度远大于 1：

F 最大限度 ​ ​ = f （ 1 2 2 気 ​ ϵ - - - - \sqrt - 1 2) = 2 気 ​ ϵ - - - - \sqrt        1 ​ \cdot 埃 1 4 ϵ 気 ​ - 1 2        \sim 1 ≫ 1 .

f_{\mathrm{max}}=f\left(\frac{1}{2}\sqrt{2\frac{kT}{\epsilon}}-\frac{1}{2}\right)=\underbrace{\sqrt{2 \frac{kT}{\epsilon}}}_{\gg 1}\cdot \underbrace{e^{\frac{1}{4}\frac{\epsilon}{kT} – \frac{1}{2}}}_{\sim 1}\gg 1\text{ .}

然后我们得出结论，在以下条件下 $k T ≫ ϵ$ kT\gg\epsilon，近似和积分是有效的。

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