我正在研究复数的历史，但我不明白截图上的部分。特别是，我不明白为什么三次函数总是至少有一个实根。
我不明白为什么原因是“因为是3−p−q是3−页是−问y^3 − py − q对于足够大的正是是y对于足够大的负数，则为负数是是y)”。
其次，我不明白这个事实如何导致需要引入复数。这本书似乎暗示了这一点。但也许我错了。我不明白为什么有必要引入三次方程的复数，如果它们被证明至少有一个实数解。那么实数解就足够了，对吧？
谢谢你的解释！
14.2 二次方程
在数学课程中介绍复数的通常方式是指出它们是用来解某些二次方程的，例如方程X2+ 1 = 0X2+1=0x^2 + 1 = 0。然而，在二次方程刚出现时，这种情况并没有发生，因为当时并不需要所有二次方程都有解。许多二次方程在希腊几何中是隐含的，正如人们在研究圆、抛物线等时所预料的那样，但人们并不要求每个几何问题都有解。如果有人问一个特定的圆和线是否相交，那么答案可以是肯定或否定。如果是，则相交的二次方程有解；如果否，则无解。在这种情况下，“虚解”是不必要的。
14.3 三次方程
三次方程的 del Ferro-Tartaglia-Cardano 解
是3= p+问是3=页是+问y^3 = py + q
是
是=问2+（问2）2−（页3）3−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√3+问2−（问2）2−（页3）3−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−√3是=问2+（问2）2−（页3）33+问2−（问2）2−（页3）33y = \root{3}\of{ \frac{q}{2} + \sqrt{ \left(\frac{q}{2}\right)^2 – \left(\frac{p}{3}\right)^3 } } +
\root{3}\of{ \frac{q}{2} – \sqrt{ \left(\frac{q}{2}\right)^2 – \left(\frac{p}{3}\right)^3 } }
正如我们在 6.5 节中看到的。当（问/ 2）2− （p / 3）3< 0（问/2）2−（页/3）3<0(q/2)^2 – (p/3)^3 < 0。然而，我们不可能将其视为无解的情况，因为三次方程总是至少有一个实根（因为是3−p−q是3−页是−问y^3 – py – q对于足够大的正是是y对于足够大的负数，则为负数是是y）因此，卡尔达诺公式提出了一个问题，即如何将通过检查发现的实值与以下形式的表达式相协调
a + b− 1−−−√−−−−−−−−√3+一个−b− 1−−−√−−−−−−−−√3A+b−13+A−b−13\root{3}\of{ a + b\sqrt{ -1 } } +
\root{3}\of{ a – b\sqrt{ -1 } }
该引文出自》第 276-277 页。
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6 个回答
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你在评论中提问
我不确定，因为如果它是实根，那么我不明白为什么这被用作引入复数的论据？有实根感觉与有复根无关，不是吗？也许这是我真正的误解。即使我知道为什么它总是有实根，我也不明白这如何导致需要引入复数。
尽管三次函数有实数系数，但根的公式却需要复数。
这个看似矛盾的事实可能就是延迟发现公式的原因。你引用的那本数学史书应该讨论这一点。
在维基百科上阅读有关内容 。
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谢谢，这太有帮助了！所以如果我理解正确的话，思维顺序是 1。我们确信这是根的形式。（并且它们始终存在）。2。这意味着当一个表达式 < 0 时，根的形式中存在一些“不真实”（复杂）的东西。（我们确信这种情况会发生，所以我们不能只是避免这种情况并避免复数的存在……）？
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@TerezaTizkova 是的，这是一个很好的总结。
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@TerezaTizkova，这个故事还解释了为什么我们称某些数字为“实数”，而将某些数字称为“虚数”。想出这个答案的人说了这样的话：“当然，我们都知道，实际上没有一个数字的平方等于 -1，但如果我想象有这样一个数字，并且我假设它遵循代数的所有规则，那么……等等，等等。”
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首先你问的是：我不明白为什么原因是“因为是3−p−q是3−页是−问y^3 − py − q对于足够大的正是是y对于足够大的负数，则为负数是是y)”。
这个问题的答案是：如果F（x ）=X3+一个X2+ bx + cF（X）=X3+AX2+bX+Cf(x) = x^3 +ax^2+bx+c，那么它就是一个连续函数，并且观察到林x → ∞F（x ）= ∞林X→∞F（X）=∞\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty和林x → − ∞F（x ）= − ∞林X→−∞F（X）=−∞\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty。由于它是连续的，所以不可能总是正数或负数。所以存在X1，X2∈RX1，X2∈Rx_1,x_2 \in \Bbb R使得F（X1）< 0F（X1）<0f(x_1) < 0和F（X2）> 0F（X2）>0f(x_2) > 0，因此根据 IVP 有CCc之间X1X1x_1和X2X2x_2使得F（c ）= 0F（C）=0f(c) = 0。
另外，根据代数基本定理，我们知道任何333次多项式恰好有333根。另外，如果是∈C是∈Cz \in \Bbb C是F（X ）F（X）f(x)， 然后是¯是¯\bar{z}也是F（X ）F（X）f(x)（作为F（是¯) =F¯（z）F（是¯）=F¯（是）f(\bar{z}) = \bar{f}(z)）这两种情况告诉我们
- F（X ）F（X）f(x)可以有一个实根和两个复根。
- F（X ）F（X）f(x)有三个实根。
您的第二个疑问是：其次，我不明白这个事实如何导致需要引入复数。
答案：每个多项式R [x]R[X]\Bbb R[x]（所有具有实系数的多项式的集合）不一定有实根。一个很好的例子是多项式X2+ 1X2+1x^2+1，它没有实根。所以，我们必须扩展可以找到这个多项式根的域。这个域扩展也称为多项式的分裂域，它可以被分解成线性因子。
编辑：您说得对，因为扩展域是为了引入研究多项式根的主题而创建的。三次方程总是至少有一个实数解。卡丹发现，要获得三次方程的实数解，您需要理解负数的平方根。因此，他们面临一个两难境地：要么说负数的平方根不存在，然后失去这些合法的三次方程实数解，要么引入负数平方根的理论，以便我们能够保留这些合法的实数解。因此，求解多项式才是真正的动机。伽罗瓦做出了这一概括。参见。
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谢谢！关于你的第二个答案，𝑥^2+1 正是书中所论证的不需要任何解，因此它仍然不足以成为引入新类型数字的动机。
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是的，最好用多项式来表示，因为要找到该多项式的根，你必须扩展该域。
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（这只是一个简单的历史解释，没有深入研究三次方程的理论）
三次方程解法的难点在于，当方程有三个实数解时，塔塔利亚发现的公式需要对负数取平方根。最后他发现，如果他假设这样的数字存在，并且可以应用通常的加法和乘法规则，那么在计算结束时，这些数字就会消失，并会找到一个实际的（实）根，所以塔塔利亚并没有太担心。当然，这不是一个合理的推理，但在当时，只要它有效，这就足够了。
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借助微积分工具，中间值定理就可以解决问题。
如果微积分不是工具箱的一部分，那么标准适用于以下形式的实多项式X3−p x −pX3−页X−页x^3-px-p。
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我不明白为什么三次方程总是至少有一个实根。
我不明白为什么原因是“因为是3−p−q是3−页是−问y^3 − py − q对于足够大的正是是y对于足够大的负数，则为负数是是y)”。
众所周知，三次函数的图形是一条单一的、不间断的曲线（即函数是连续的）。如果它对某个值是负的，对另一个值是正的，那么它必须经过零。这是因为任何从下方延伸的不间断曲线XXx-轴到它上面必须穿过它。因此，每一个立方体的形式是3−p−q是3−页是−问y^3 – py – q至少有一个实根。由于任何三次方程都可以通过简单的水平平移（不添加或删除任何轴交叉点）转换成该形式，因此我们可以将该结果扩展到所有三次方程。
如果三次方程至少有一个实数解，我不明白为什么有必要引入复数。那么实数解就足够了，对吗？
这是合乎逻辑的，但在投入之间有一个步骤页页p和问问q并得出该根。该步骤是求 14.3 顶部给出的根表达式。问题是，对于所有实数，内部平方根的求值是不可能的（仅限于实数）页页p和问问q但如上所述，所有页页p和问问q并且这个表达式在所有情况下都应该求得该根。如果你尝试一些实际值页页p和问问q，利用你对复数的了解，你很快就会明白发生了什么：表达式的两个项是复共轭，因此它们的和总是实数。但是如果你没有复数理论，那么在表达式的求值中就会存在差距，因此你无法找到你知道存在的解。
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三次函数是=一个X3+ BX2+ CX是=AX3+乙X2+CXy = Ax^3 + Bx^2 + Cx可以有两个转折值。如果你把它画出来，它可以有一个最大值和一个最小值。一些三次函数，如是=X3+十是=X3+Xy = x^3 + x没有转折值。
图形解决方案D = AX3+ BX2+ CX德=AX3+乙X2+CXD = Ax^3 + Bx^2 + Cx是是=一个X3+ BX2+ CX是=AX3+乙X2+CXy = Ax^3 + Bx^2 + Cx越过水平线是= D是=德y=D。如果 D 位于两个转折值之间，则直线将与曲线相交三次。如果 D 不在两个转折值之间，或者没有转折值，则只会有一个交点。如果有两个交点，则曲线只有一个转折值，因此它是二次曲线，而不是三次曲线。
您不必使用复数。您不必使用负数，或者如果必须使用零的话。但它确实有助于理解。
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首先，我们必须在这里纠正一些论点：“三次方程（具有实系数）总是至少有一个（实）根。
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三次多项式， F（X ）， F（X）， ~f(x),~是一个连续函数。如果你能确定存在 X1， X2， X1， X2， ~x_1, ~x_2, ~使得 F（X1）< 0 ， F（X1）<0， ~f(x_1) < 0,~和 F（X2）> 0 ， F（X2）>0， ~f(x_2) > 0,~那么，因为 F（X ） F（X） ~f(x)~是连续的， F（X ） F（X） ~f(x)~必须跨越 X X ~x~轴，对于某个值 X3 X3 ~x_3~介于 X1 X1 ~x_1~和 X2。 X2。~x_2.
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由于所有实数多项式都是连续函数，因此可以应用均值定理。由于多项式有正值和负值，因此存在一些零值。
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三次多项式是连续的，一端趋向于负无穷，另一端趋向于正无穷，因此根据 IVT，某处必须有一个零
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关于我最后一条评论，从直观（非常非正式）的角度来看，假设连续性可以通过不拿起铅笔就能画出函数来表示。 因此，为了从 F（X1） F（X1） ~f(x_1)~到 F（X2）， F（X2）， ~f(x_2),~无需拿起铅笔，即可实现该功能 F（X ） F（X） ~f(x)~必须跨越 X X ~x~轴。
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