Question

我从一位著名数学家那里听说 ZFC 证明了存在一个最小可数饱和实闭域。我对此有几个问题。

是否有一个软模型论构造表明必须存在这样的场？我可以想象一个使用实闭场的良好模型论特征（例如量词消除等）的论证。（如果没有，最好的论证是什么？提到了正式幂级数，所以我猜是类似哈恩级数的东西。）
最小可数饱和实闭场是否也是最小的，即它嵌入到所有其他这样的场中？
它是独一无二的吗？（我会感到惊讶，但作为规范结构，这将非常受欢迎。）
最小可数饱和实闭域是否简单地 ${No}_{ω_{1}}$ \text{No}_{\omega_1}，即在任何可数序数生日出生的超现实数？这个域似乎是以极小的方式构造的，因此是可数饱和的，因此如果有的话，我很容易相信它就是那个。（或者也许它是几个中的一个？）

我将非常感激对这些事项及相关事项的任何澄清。

同时，我知道在 CH 下，所有最小尺寸的可数饱和实闭域都是同构的，而且这等价于连续统假设。这个事实是我最近的论文《的中心主题。所以这个问题主要与纯 ZFC 结果有关，这仅在非 CH 情况下才会困难。一般来说，没有 CH，有许多非同构的可数饱和实闭域，其尺寸为连续统。

为了清楚起见，我要说的是，“可数饱和”是指 $ℵ_{1}$ \aleph_1—饱和。 —

Answer 1

在《Erdös 问题的解决》中，Gillman 和 Henriksen 将其应用于同态研究 $C (K)$ \mathcal{C}(K), Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 30 (1977), no.1-2, 113–127 ( ), Jean Esterle 证明了至少存在一个 $ℵ_{1}$ \aleph_1-饱和实闭域，至少在你的意义上。他进一步表明，它可以用 $ℵ_{1}$ \aleph_1-限制的 Hahn 场。此外，它同构于 $N o (ω_{1})$ {\bf No}(\omega_1)正如您所建议的。有关后一个结果的证明，请参阅我的《绝对算术连续体和所有大数和小数的统一》（Bull. of Sym. Log. 18 (2012)，第 1-45 页，doi：，）中定理 17 的证明。但是，由于它正确地包含其自身的同构副本，因此它不是最小的，我也不相信存在这样的结构。

我不知道这些结果的模型理论证明。

编辑（7/12）

在同一篇论文中，Esterle 指出，所有 $ℵ_{1}$ \aleph_1-饱和实闭功率场 $2^{ℵ_{0}}$ 2^{\aleph_0}当且仅当 CH 时，它们才是同构的。因此，如果是 CH，我们具有最小结构的唯一性。据我所知，没有 CH 的唯一性问题尚未解决。另一方面，我曾想知道（但从未证明）如果我们将自己限制在超现实的初始子域（即，在被视为超现实子树的结构中，其成员的前身与超现实数树中其成员的前身相重合的子域），那么 $N o (ω_{1})$ {\bf No}(\omega_1)，是初始的，是唯一的最小初始 $ℵ_{1}$ \aleph_1-饱和的超现实实数闭子域。根据我的具有简单层次结构的数字系统的结果：Conway 超现实数理论的推广（J. Symb. Log. 6 (2001), pp. 1231–1258），每个实数闭域都同构于超现实的初始子域。我非常确定（在 ZFC 中） $N o (ω_{1})$ {\bf No}(\omega_1)不正确包含 $ℵ_{1}$ \aleph_1-饱和实闭场。

谢谢你的回答！（事实上，我正想写信给你，让你注意我的问题。）显然，“最小”是与“最少”的意思一起使用的，也就是说，它嵌入到所有其他事物中，这是一种更好的情况。但你没有具体解决唯一性问题，只是说“它同构于 $No (ω_{1})$ \text{No}(\omega_1)”，但它们一定都是同构的吗？也就是说，这是一个范畴表征吗？ — 
我相信，独特性可以通过将该领域分层为 $ω_{1}$ \omega_1仅具有可数共终性割的域的并集，然后进行来回论证。这就像意识到 $No (ω_{1})$ \text{No}(\omega_1)作为联盟 $No (α)$ \text{No}(\alpha)可数序数 $α$ \alpha. 这些较小的领域都有共终性的所有切割 $ω$ \omega。 — 
我发布编辑后看到了你的评论。我必须仔细考虑一下你的评论。 — 
我听到了伍丁的来回争论，他说这在他的卡普兰斯基猜想研究中有所体现。 —

集合论 – 是否存在最小（最小？）可数饱和实闭域？ – MathOverflow

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