让FFf是一个完整的函数,| f||F||f|对于每对复数,都遵循三角不等式,即
|f(z_1+z_2)|\le |f(z_1)| + |f(z_2)|
显示FFf必须是次数小于222。
我已经因为这个问题考试不及格一个月了,从那以后这个问题就一直困扰着我。请让我摆脱每天努力解答这个练习的焦虑。
\endgroup
2
最佳答案
2
让
f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
是具有所需属性的完整函数。Wlog 让F≠ 0F≠0f \not=0,至少有一个A钾A钾a_k不为零。通过设置是1=是2= z是1=是2=是z_1=z_2=z我们有| f(2兹) | ≤ 2 | f(z)||F(2是)|≤2|F(是)||f(2z)| \le 2|f(z)| (z∈C )(是∈C)(z \in \mathbb{C})。 因此
g(z):= \frac{f(2z)}{f(z)}, \quad |g(z)|\le 2.
注意要点是∈C是∈Cz\in \mathbb{C}和F(z)= 0F(是)=0f(z)=0是可移除的奇点GGg(自从GGg在每个奇点附近都有界,参见 ),因此GGg是有界的整函数。根据刘维尔定理GGg是常数。因此
\exists c \in \mathbb{C} \forall z \in \mathbb{C}: ~ f(2z)=cf(z)
比较幂级数的系数FFf产量
2^ka_k=ca_k \quad (k \in \mathbb{N}_0).
因此A钾≠ 0A钾≠0a_k \not=0暗示2钾= c2钾=C2^k=c,所以只有一个A钾A钾a_k可≠ 0≠0\not=0。 因此,F(z) =A钾是钾F(是)=A钾是钾f(z)=a_kz^k对于一些钾钾k. 案件k = 0 , 1钾=0,1k=0,1是可能的,并且k > 1钾>1k>1是不可能的,因为是≠ 0是≠0z\not=0
|f(2z)|=|a_k(2z)^k|\le 2|a_kz^k|=2|f(z)| \iff 2^k \le 2.
因此,整个函数具有| f(是1+是2) | ≤ | f(是1)| + | f(是2)||F(是1+是2)|≤|F(是1)|+|F(是2)||f(z_1+z_2)| \le |f(z_1)|+|f(z_2)|正是函数F(z) =一F(是)=Af(z)=a和F(z) =一个F(是)=A是f(z)=az,a∈CA∈Ca \in \mathbb{C}。
\endgroup
5
-
2\begingroup
关于可移除奇点的观点需要一些论证,因为是是z不是简单的零。
\endgroup
– -
\begingroup
@GregMartin,不多:如果F(z) =是np ( z)F(是)=是n页(是)f(z) = z^n p(z)对于某些可逆幂级数页页p然后F(2兹)/ F(z) =2np ( 2 z) / p ( z)F(2是)/F(是)=2n页(2是)/页(是)f(2z)/f(z) = 2^n p(2z)/p(z)左侧到处都有定义,但右侧是完整的。
\endgroup
–
-
\begingroup
@GregMartin 我希望我没有忽略任何东西,但我认为没有必要考虑零的顺序。因为|克(z) | ≤ 2|G(是)|≤2|g(z)| \le 2如果F(z)≠ 0F(是)≠0f(z) \not=0每个奇点GGg可以通过黎曼关于可移除奇点的定理移除(GGg是有界的,因此在每个奇点附近都有界)。
\endgroup
– -
\begingroup
@Gerd 嗯,我不认为我知道黎曼关于可移除奇点的定理!谢谢你的信息 🙂
\endgroup
– -
\begingroup
@GregMartin 我同意这一点表达得太简短了。我编辑了答案并插入了一个链接。
\endgroup
–
|
这是柯西不等式的一个应用,即:如果米(右)米(r)M(r)是最大模量FFf在半径为rrr以某一点为中心是0是0z_0(说000), 然后|F(n )(是0) | ≤米(r )n !rn|F(n)(是0)|≤米(r)n!rn|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{M(r)n!}{r^n}。
现在从三角不等式可以得出| f( 2埃φ)| = | f(埃φ+埃φ) | ≤ | f(埃φ)| + | f(埃φ)| = 2 | f(埃φ)||F(2埃我φ)|=|F(埃我φ+埃我φ)|≤|F(埃我φ)|+|F(埃我φ)|=2|F(埃我φ)||f(2e^{i\varphi})|=|f(e^{i\varphi}+e^{i\varphi})|\leq|f(e^{i\varphi})|+|f(e^{i\varphi})|=2|f(e^{i\varphi})|并归纳| f(千埃φ) | ≤ k | f(埃φ)||F(钾埃我φ)|≤钾|F(埃我φ)||f(ke^{i\varphi})|\leq k|f(e^{i\varphi})|. 这是给所有人的φ∈Rφ∈R\varphi\in\mathbb R。 它遵循米(k )≤kM(1 )米(钾)≤钾米(1)M(k)\leq kM(1)。 但是之后
|f^{(n)}(0)|\leq \frac{M(k)n!}{k^n}\leq \frac{k M(1)n!}{k^{n}}=k^{-(n-1)}M(1)n!
对所有人来说都是如此k∈N钾∈否k\in\mathbb N。 只要(n − 1 )(n−1)(n-1)是正数 – 也就是说,n≥2n≥2n\geq2– 这是000作为k → ∞钾→∞k\to\infty, 因此|F(n )(0 )| ≤0|F(n)(0)|≤0|f^{(n)}(0)|\leq0, 制作F(n )(0 )= 0F(n)(0)=0f^{(n)}(0)=0对全部n≥2n≥2n\geq2满足此条件的唯一解析函数是次数小于222。
这里的直觉是,整个函数的增长率限制了其系数:如果它至少沿着某种路径线性、二次、三次增长到无穷大,那么线性、二次、三次部分的系数可以不为零。但三角不等式最多强制线性增长,因此唯一的非零系数是幂级数的常数和线性部分的系数。
\endgroup
2
-
\begingroup
…它遵循米(k )≤kM(1 )米(钾)≤钾米(1)M(k)\leq kM(1)…需要一些理由。
\endgroup
–
-
\begingroup
@mathcounterexamples.net 是的,我刚刚注意到了。事实上,它没有遵循!但如果我们替换111经过埃φ埃我φe^{i\varphi}任意φ∈Rφ∈R\varphi\in\mathbb R。在这种情况下,情况很简单,我不再进一步阐述。但如果需要的话:F(千埃φ)F(钾埃我φ)f(ke^{i\varphi})覆盖半径为钾钾k,因此任何界限都是界限米(千)米(钾)M(k)。
\endgroup
–
|
“遵循三角不等式”是什么意思?
\endgroup
–
Giulio,我是否正确理解了“遵循三角不等式”这句话的含义
\endgroup
–
|