Question

我有一个问题，关于我们究竟是如何得出量子力学中的以下两个结论的（据我所知，这两个结论都是通过实验获得的）：

同质粒子无法区分
所有相同粒子的波函数都是对称的或反对称的

我认为这两件事并不相同。

这是我目前的理解：通过证明混合相同气体时熵不会增加，可以通过实验获得相同粒子的不可区分性。

到目前为止一切顺利。这让我们得出结论，在数学公式中
$[\hat{A}, {\hat{U}}_{π}] = \hat{0} \forall π$ [\hat{A}, \hat{U}_{\pi}] = \hat{0} \ \forall \ \pi

在哪里 ${\hat{U}}_{π}$ \hat{U}_{\pi}是应用排列的运算符 $π$ \pi到一个状态和 $\hat{A}$ \hat{A}是任意算符。用文字来说，这个关系告诉我们，当两个相同粒子的角色互换时，任何期望值（即任何可测量的东西）都保持不变。

具体来说， $\hat{A} = \hat{H}$ \hat{A} = \hat{H}，我们知道 ${\hat{U}}_{π}$ \hat{U}_{\pi}在时间演化过程中保持本征态，并且我们可以同时对角化任何算子以及 ${\hat{U}}_{π}$ \hat{U}_{\pi}。

我的第一个问题是：这个关系本身并不能告诉我们 ${\hat{U}}_{π}$ \hat{U}_{\pi}是被禁止的吧？所以仅凭这一点，我们无法得出我在开头列出的第二个结论。

但是，我读到，由于没有混合熵，可以得出第二个结论。这怎么可能呢？从我读到的内容来看，这与以下事实有关：如果算子的特征空间内置换群的不可约表示超过一维，则熵的增加将源于交换简并。我不太明白这是什么意思。

所以总的来说，我的第二个问题是，我们是否需要其他实验验证才能得出第二个结论，缺失的混合熵是否足够，或者我的想法在某些时候是否完全错误。

请记住，我不是在谈论自旋统计定理。我知道，没有它，我们就不知道该如何选择哪个子空间（对称或反对称）来描述某些粒子。

它们不是二维中的唯一情况。请查阅任意子。 — 
整个对称/反对称波函数图是一种令人遗憾和困惑的尝试，它试图解决将粒子视为可区分物体这一根本问题。有一种更好的方法，正如中所述。 —

Answer 1

这是现象学的。泡利引入了不相容原理（对于电子）来解释原子光谱的一些数据，这最终被升级为不可区分费米子的反对称性质，并在其他系统（例如原子核）中得到实验验证。

对于玻色子来说，原因也是现象学的，可能最引人注目地体现在中，其中干涉的符号（相消或相长）取决于粒子的统计数据（在 HOM 光子中是玻色子），或在中。

有各种各样的数据（例如，相同粒子的散射数据），只有假设成分满足费米子或玻色子统计才能解释，将线性组合固定为对称或反对称。

混合对称性通常会扰乱平均值，并且可以证明状态必须通过置换群的一维表示进行变换，并且只有完全对称或完全反对称表示才是一维的；如果不是，则会失去完全不可区分性。

因此：我们“知道”这是成立的，因为这种分类有助于理解和预测物理现象，并且没有证据表明它是错误的或者需要其他东西……

…除了评论中提到的任意子外，都是可能的，尽管它们只在二维中才有可能，而且实际上是“准粒子”。

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也应该提到自旋统计定理
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– —

Accepted Answer

为了更深入地回答您的问题，请注意，交换对称性是一种权宜之计，旨在尝试使用非相对论量子理论来理解全同粒子。但全同粒子只是一种引用量子场激发的方式，而这些激发是由量子场论描述的。

使用相对于标签交换对称或反对称的状态是非相对论量子力学中的一种数学方法，它成功地捕捉到了正在发生的事情的一些相关方面。这里更普遍的理论是量子场论，在该主题中，交换对称性的处理方式不同。

在场论中，如果你想写一个具有固定数量粒子的状态，你可以用符号写出状态向量

| ψ ⟩ = | n 1 ， n 2 ， n 3, \dots ⟩

| \psi \rangle = | n_1, n_2, n_3, \cdots \rangle

在哪里 $n_{i}$ n_i给出激发程度 $i$ i场的第模式。在粒子语言中，我们会说 $n_{i}$ n_i粒子在 $i$ i‘状态。注意，在这个符号中，我们从不给粒子贴标签（就像不会给一焦耳能量中存在的所有毫焦耳贴标签一样）。相反，我们给场模式贴标签，指定传播方向、极化等。所以你看，永远不需要说“状态相对于粒子标签的交换是对称的”或“状态相对于粒子标签的交换是反对称的”，因为粒子从一开始就没有被标记。在场论中，我们有一个升和降算子之间的交换子或反对交换子的表达式，这导致了对数字的限制 $n_{i}$ n_i.对于玻色子来说 $n_{i}$ n_i可以取任何非负整数值。对于费米子，每个 $n_{i}$ n_i只能取值 $0$ 0或者 $1$ 1。

这回答了这个问题，因为它表明问题中的两个要点都是使用某种临时方法拼凑出一个能够捕捉更深层理论的低能极限的理论的结果。

谢谢！我一直在想，在介绍量子力学时教我们所有关于“粒子”的知识是否会在某种程度上毒害我们对底层理论的理解 —

量子力学 – 我们如何知道自然界中只出现对称和反对称状态？ – Physics

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