这个问题看起来很基本，但我似乎找不到任何相关文献。
让磷磷\mathbb{P}是一个强迫性的概念。如果页页p是磷磷\mathbb{P}，定义前驱集页页p是
\{q \in \mathbb{P} : p \leq_{\mathbb{P}} q \}.现在假设每个条件磷磷\mathbb{P}有一个有限的前驱集。是否有可能磷磷\mathbb{P}不添加实数？如果可以，请举一个例子磷磷\mathbb{P}？
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答案是肯定的，因为每个强制概念都等同于一个具有有限前身的强制概念。
定理。每个强制概念都强制等同于具有有限条件的强制概念，即按（反向）包含排序的有限集族。所有此类强制概念都具有问题中提到的有限前驱条件。
证明。考虑任何强制概念磷磷\newcommand\P{\mathbb{P}}\P。 让磷∗磷∗\P^*是强制概念，由有限尖子集组成磷磷\P，即有限集a⊂P一个⊂磷a\subset\P使得一个一个a有最小元素。我们排序磷∗磷∗\P^*经过a≤b一个≤ba\leq b当且仅当b⊆ab⊆一个b\subseteq a。由于有限集只有有限多个子集，这将确保磷∗磷∗\P^*具有有限前因条件。
很容易看出磷∗磷∗\P^*项目磷磷\P通过将每个尖角集映射到其点。因此强制磷∗磷∗\P^*添加通用的磷磷\P。
相反，我认为强迫磷磷\P添加通用的磷∗磷∗\P^*. 假设G⊂P格⊂磷G\subset\P是五五V-generic，然后让格∗格∗G^*由有限尖子集组成格格G。这是一个过滤器磷∗磷∗\P^*， 自从格格G是一个过滤器磷磷\P。 这是五五V-通用磷∗磷∗\P^*，因为如果德∗⊂磷∗德∗⊂磷∗D^*\subset\P^*是稠密的，则让德德D由任意尖点集中的最少点组成德∗德∗D^*— 这将是密集的磷磷\P.因此对于任何一个∈格∗一个∈格∗a\in G^*具有最小点p∈G页∈格p\in G，有一些问∈D问∈德q\in D至少在某些方面b∈德∗b∈德∗b\in D^*使得问∈G问∈格q\in G。 所以b∈格∗b∈格∗b\in G^*所以格∗格∗G^*会见德∗德∗D^*。
自从格格G和格∗格∗G^*很容易相互构建，我们有五[ G ] = V[格∗]五[格]=五[格∗]V[G]=V[G^*]，因此这些强制概念是强制等价的。□◻\Box
同时，正如门罗提到的，这一观察的一个缺点是强制概念磷∗磷∗\P^*通常不是分离的，因为磷磷\P可以使用相同的最小点，但包含不可比较，因此它们在磷∗磷∗\P^*有序但兼容完全相同的条件，违反分离性。我认为这是一个自然版本的疑问，即探究具有有限前驱性质的分离偏序集。
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回答得非常好，Joel！让我补充一下，这个问题的一个变体，是否存在具有向上有限性质的稠密子偏序集？，更加微妙。对于某些偏序集，答案是否定的，而对于其他偏序集，答案是肯定的，这似乎是一个微妙的问题，分界线究竟在哪里。例如，每个 ccc 偏序集是否都具有此属性与 ZFC 无关。
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磷∗磷∗\mathbb P^*是非分离的。分离的呢磷磷\mathbb P？
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@MonroeEskew 好问题。
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这种普遍等价性不适用于分离磷磷\mathbb P因为如果磷磷\mathbb P是分离的、非平凡的、可数分配的，那么就强制要求一般格格G包含一些严格降序的ωω\omega-chain。如果页页p决定这样一个链，那么页页p一定是链的下界。
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很好。不过，这并不能完全解释 OP 所说的不添加实数的情况。
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有一个动物园，里面充满了各种强制概念，添加了有趣的物体（苏斯林树、棍棒、□◻\square序列，…）具有“有限条件”，这将满足您的属性。它们通常是正确的，但我不确定它们是否添加了实数。
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