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假设 xyz 坐标系中有一个点，那么我可以从原点绘制一个位置向量并定义r =x i +y j +z k。现在我将坐标绕 z 轴旋转一个角度 phi，并定义一个指向同一点的位置向量r’ =x’ i’ +y’ j’ +z’ k’。

显然，幅度保持不变而分量可能会发生变化，但等式r = r’成立吗？换句话说，这两个向量相等吗？

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    作为抽象对象的向量与其坐标表示无关，但是您的相等性不成立，因为您已指定rr\mathbf r和r′r′\mathbf r^\prime是不等价的表述。
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    @paulina 虽然三重（x , y, z）（十，是，是）(x,y,z)不等于三倍（十′，是′，是′）（十′，是′，是′）(x’,y’,z’)，这只是表示。当表示为没有隐含总和的三元组时（即r⃗ = x我⃗ + y杰⃗ + z钾⃗ r→=十我→+是杰→+是钾→\vec r = x\vec i + y\vec j + z\vec k) 一些信息已被删除。删除这些信息后，剩下的内容（在本例中为两个三元组）是无法比较的。这两个表示是同一个向量。
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    @DavidHammen 似乎我忽略了基向量也进行了变换。如果是这样，是的，您说得对。
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6 个回答
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有两个等价的观点。假设你的原始向量是

r =x我+y加权​​钾r=十我+是杰+是钾

{\bf r} = x\, {\bf i} + y\, {\bf j} + z\, {\bf k}

被动变换保持矢量不变，但改变基矢量，因此方程为

r =十′我′+是′杰′+是′钾′r=十′我′+是′杰′+是′钾′

{\bf r} = x’\, {\bf i’} + y’\, {\bf j’} + z’\, {\bf k’}

主动变换保持基向量不变，但作用于向量本身，因此新方程为

r′=十′我+是′j +是′钾r′=十′我+是′杰+是′钾

{\bf r}’ = x’\, {\bf i} +y’\,{\bf j} + z’\,{\bf k}

在这两种情况下，矢量的分量（x , y, z）（十，是，是）(x,y,z)转换为（十′，是′，是′）（十′，是′，是′）(x’,y’,z’)。

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    只是想说，这就是我本来要回答的问题，但你写这个答案比我写的简洁 80%！做得好。
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是的，r =r′r=r′\mathbf r = \mathbf {r’}.如果你表达一,一,二我，杰，钾\mathbf{i,j,k}作为线性组合我′，杰′，′钾′我′，杰′，′钾′\mathbf{i’,j’,’k’}，乘以坐标​​, z十，是，是x,y,z分别收集我′，杰′，钾′我′，杰′，钾′\mathbf{i’,j’,k’}那么你将得到十′我′+是′杰′+是′钾′十′我′+是′杰′+是′钾′x’\mathbf {i’} + y’\mathbf {j’} + z’\mathbf {k’}。

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虽然你的问题是关于围绕原点的旋转，但如果你允许更一般的坐标变换（即移动原点），那么对于位置矢量（以及从它们派生出的量，如角动量），就会有一个更微妙的变换行为（这导致了你不能说r⃗ r→\vec r和r⃗ ′r→′\vec r’是相同的对象，因为它们不再存在于同一空间中）。

问题在于，位置矢量不是与磁场或电场等相同意义上的矢量，它们在某种程度上附着在测量它们的点上，只是根据空间的旋转改变它们的分量（用更高级的术语来说，它们存在于模拟空间的流形的切向空间中，并在该空间中变换为矢量）。

因此，如果我们有一个围绕原点旋转的变换（使用旋转矩阵RRR）然后将其平移（通过位移d⃗ d→\vec d），电场变换如下：

埃⃗ ′（r⃗ ′) = R埃⃗ （r⃗ ）埃→′（r→′）=R埃→（r→）

\vec E'(\vec r’) = R \vec E(\vec r)

位置向量r⃗ r→\vec r不能这样理解，如果我们旋转一圈然后像上面那样平移原点，它会变成：

r⃗ ′= Rr⃗ +d⃗ 。r→′=Rr→+d→。

\vec r’ = R \vec r + \vec d.
（这是一种符号滥用，因为我们认为r⃗ r→\vec r居住在这里的坐标空间中。）

因此位置向量是另一种类型的对象，并且在抽象层面上，属于不同原点的向量仅在于我们将它们理解为空间中同一点的坐标的范围内是相等的。

（将这样的位置向量连接到流形空间模型的一种方法是将它们视为原点处切向空间的元素。这只能以这种方式起作用，因为我们在“无聊的”欧几里得空间中工作，我们可以在其中将原点处的切向空间与空间本身等同起来。）

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    +1 – 这真的很重要，但这里缺少的一件事是注意 OP 询问的变换是纯旋转，因此不会改变原点。
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    我最近刚刚发过帖子，但是：↑↑\uparrow. 一点页页p不是矢量，而是存在于仿射空间中的几何对象，它有一个原点哦哦O. 鉴于哦哦O，我们可以制作一个向量页⃗ = p − O页→=页−哦\vec p = p – O并使用页⃗ 页→\vec p。请记住，它不同于页页p几何上，尽管它们在不同的表示中具有相同的组件。另请参阅：第一（和第二/逆/逆）大地测量问题。（），以及更一般的仿射变换：
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    @Amit 我认为我的第一段已经说得足够清楚了，这只有在允许翻译的情况下才有意义。我会更明确地说明这一点。
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是的，这两个向量是相同的，因为向量是几何对象，这意味着它与任何特定的坐标系无关。我们只是使用坐标系以某种方便的方式来表示向量。

在您的示例中，您可以采取以下措施来说服自己它确实是相同的向量：用其基向量明确地写出它：

r⃗ = x十^+ y是^+ z是^r→=十十^+是是^+是是^

\vec{r} = x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}

现在，另一种写出相同等式的方法是：

r⃗ = (十^是^是^）⎛⎝⎜100010001⎞⎠⎟⎛⎝⎜十是是⎞⎠⎟r→=（十^是^是^）（100010001）（十是是）

\vec{r} = \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

它之所以在这种情况下有用，是因为它可以帮助您看到，当您转换到不同的坐标系时，真正发生的是中间的单位矩阵“分裂”成两个：右边的矩阵转换分量，左边的矩阵转换基向量。这两个矩阵的乘积当然是单位矩阵（它们必须是彼此的逆），这样方程式才能保持不变。因此，无论向量的表示形式如何，向量本身都不会改变。

在你的例子中，我们想要在旋转坐标系后表示相同的向量是是z轴以某个固定角度φφ\varphi：

r⃗ = (十^是^是^）⎛⎝⎜余弦φ罪φ0−罪φ余弦φ0001⎞⎠⎟⎛⎝⎜余弦φ−罪φ0罪φ余弦φ0001⎞⎠⎟⎛⎝⎜十是是⎞⎠⎟r→=（十^是^是^）（余弦⁡φ−罪⁡φ0罪⁡φ余弦⁡φ0001）（余弦⁡φ罪⁡φ0−罪⁡φ余弦⁡φ0001）（十是是）

\vec{r} = \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0 \\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

如果你进行左右乘法运算，你会发现：

r⃗ = (余弦φ十^+罪孽φ是^−罪φ十^+余弦φ是^是^）⎛⎝⎜x余弦φ + y罪φ− x正弦φ + y余弦φ是⎞⎠⎟r→=（余弦⁡φ十^+罪⁡φ是^−罪⁡φ十^+余弦⁡φ是^是^）（十余弦⁡φ+是罪⁡φ−十罪⁡φ+是余弦⁡φ是）

\vec{r} = \begin{pmatrix} \cos\varphi\hat{x}+\sin\varphi\hat{y} & -\sin\varphi\hat{x}+\cos\varphi\hat{y} & \hat{z}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\cos\varphi +y\sin\varphi \\ -x\sin\varphi+y\cos\varphi \\ z \end{pmatrix}

现在我们可以给基向量和分量赋予新名称，例如：

十^′=余弦φ十^+罪孽φ是^，   是^′= −罪φ十^+余弦φ是^   ，是^′=是^十^′=余弦⁡φ十^+罪⁡φ是^，   是^′=−罪⁡φ十^+余弦⁡φ是^   ，是^′=是^

\hat{x}’ = \cos\varphi\hat{x}+\sin\varphi\hat{y} , \ \ \ \hat{y}’ = -\sin\varphi\hat{x}+\cos\varphi\hat{y} \ \ \ , \hat{z}’ = \hat{z}
和

十′= x余弦φ + y罪φ ,   是′= − x正弦φ + y余弦φ ,   是′= z十′=十余弦⁡φ+是罪⁡φ，   是′=−十罪⁡φ+是余弦⁡φ，   是′=是

x’ = x\cos\varphi +y\sin\varphi , \ \ \ y’ = -x\sin\varphi+y\cos\varphi , \ \ \ z’ = z

因此上面的方程r⃗ r→\vec{r}可以根据新的旋转坐标系重写：

r⃗ =十′十^′+是′是^′+是′是^′r→=十′十^′+是′是^′+是′是^′

\vec{r} = x’\hat{x}’+y’\hat{y}’+z’\hat{z}’

处理坐标变换时，很多令人困惑的是，我们通常只看组件如何变化：x →十′十→十′x\rightarrow x’，是→是′是→是′y\rightarrow y’等，但忘记了基向量也会改变。这是因为当我们进行具体计算时，这些分量才是我们实际“插入”的。

还要注意的是，这与你写的不同之处在于，没有理由在r⃗ r→\vec{r}本身。因为重点是r⃗ r→\vec{r}始终是同一个对象，我们只需要在变换后的分量和变换后的基向量等东西上加上素数，以将它们与非素数分量和非素数基向量区分开来。但总的来说，这种组合给了我们相同的几何对象，r⃗ r→\vec{r}。

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正如所写，r =r′r=r′r=r^\prime然而，对于邻近的问题，有几个细节值得考虑：

  • 区分真正的“矢量”和所谓的“坐标矢量”（例如 (x, y, z) 的值的元组）非常有用。
  • 被动变换调整的是基，而不是向量，这就是您所描述的。在这些情况下，向量是相同的，但它们用不同的坐标向量来描述。更严格地说，向量（真向量）不受基的变化的影响。

    • 如果你是一名程序员，这个细节可能会非常困难。对于我们这种人来说，将真正的向量的概念与描述它的 3 个双精度数分开是相当困难的。
  • 主动变换会改变向量，使得r ≠r′r≠r′r\ne r^\prime。当您从 (x, y, z) 更改为 (x’, y’, z’) 而不相应地更改基数时，就会发生这种情况。当您说“拿起这个物体。现在逆时针旋转 45 度”之类的话时，就会发生这种情况。

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正如“玫瑰换了名字，香味依然一样芬芳”，在两个不同的坐标系中表示的向量是同一个向量。换句话说，r⃗ ‘ =r⃗ r→‘=r→\vec r\,\text’ = \vec r。

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