在数学中，随着数学教育的进步，我们对数字的含义会发生变化。起初，数字用于计数、枚举等。然后我们不断扩展我们的数字系统，使我们能够逐步解决更复杂的方程式，从历史上看，这可能是我们将这些数量称为“数字”的原因。例如，整数使我们能够解决需要减去数量的方程式，有理数使我们能够解决需要除以数量的方程式，实数和复数使我们能够更普遍地解决多项式方程式。
但是，为什么人们会认为四元数、八元数甚至模运算环之类的东西是“数字”呢？毕竟，从代数基本定理中我们知道，不需要比复数更大的域来解决我们所有的多项式方程，所以我很难理解为什么我们会把四元数之类的东西称为数字系统。究竟是什么将数字与其他数学对象区分开来？是纯粹的文化或历史原因，还是还有其他原因？毕竟，实数通常被定义为柯西序列的等价类，或戴德金截断，而在我看来，这两者都不像数字。
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你知道当人们说“没有鱼这种东西”时，他们的意思是，随着生物学家对不同类型的动物之间的关联和不关联了解的加深，对于“鱼”这一类别还没有一个好的定义。
因此，尽管他们可能在口语中使用该术语，或将其作为技术术语的一部分，例如“硬骨鱼”，但大多数生物学研究并不费心去争论这种或那种动物是否实际上是“鱼”。
嗯，数学家和“数字”基本上是一样的。我已经获得了数学硕士学位，但我想我总共花了不到两分钟来讨论什么是数字，什么不是数字。我很乐意使用“复数”这个术语，但如果不是为了方便传统，这只是一个可以替换的名称。正如其他人所指出的，我们花时间讨论我们可以对数学对象执行哪些操作，以及这些操作遵循什么规则。
人们可能会问“好吧，哪些对象被称为数字？”，但答案将包含大量的历史和人类（数学）文化的传统——你最终不会得到一套一致认可的规则。
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3+1 通常归功于 Stephen J. Gould，具体：
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4具体到鱼类的例子，生物学家喜欢将他们的分类类别设为，即包含所有来自一个共同祖先的物种。但是，没有一个单系群既包含鲨鱼和金枪鱼，又不包含包括人类在内的所有陆地脊椎动物。因此，如果我们试图定义“鱼”的单系类别，那么要么鲨鱼不是鱼，要么金枪鱼不是鱼，要么人类是鱼。
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1我认为这可能是我得到的最接近实际答案的答案，鱼的比喻非常有效，谢谢！
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1@JD 这个想法并不是古尔德独创的，也不值得归功于他，尽管他确实将这个想法传播得更为广泛。
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事实上，我们经常会忍受“虚数”等糟糕的术语，因为尽管它可能误导外行人，但数学中引用的内容却很清楚。我同意这个答案，但就像鱼一样，可以进行比这更有用的分类，而不仅仅是忽略类别。
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实数自 16 世纪的西蒙·斯蒂文 (Simon Stevin) 开始就已经存在。他率先提出了用数字的无限小数扩展来表示数字的观点（尽管他的符号很繁琐，今天已不再使用）。
直到 19 世纪，人们仍然对是否应提及负数和数字犹豫不决。例如，柯西仍然将它们视为独立的实体。莱布尼茨、欧拉和柯西将无穷小称为数字、量或数量。
至于哪些系统应被视为“数字”，答案在很大程度上取决于说话者的哲学立场。柏拉图主义者倾向于回应说，责任止于实数或复数（鉴于后者的实用性，几乎不可能反驳后者）。
同时，你的问题主体已经包含了从数学形式主义的角度回答的雏形：我们不断扩展数字系统，因为扩展系统很有用。因此，我们将无穷小量添加到我们的数字库中，因为我们想要进行数学分析并分析变化和面积。
类似的评论也适用于汉密尔顿四元数：这个数字系统除了属于非常特殊的代数的简短列表（还包括八元数）之外，还经常在计算机视觉等领域有用（你可能不会看到计算机科学家在这种情况下使用矩阵，即使可以这样做）。
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谢谢，这很有见地。“任何可以加、减、乘、除的都是数字”的想法是否也属于数学形式主义？
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在代数中，他们研究一类称为四元数代数的对象（事实上，我有几篇与这些密切相关的出版物）。这些是汉密尔顿四元数代数的概括，但我认为将它们的元素称为数字是牵强的；实际上很少有人这样做。所以我猜想仅仅能够执行算术运算是不够的。
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我之所以问这个问题，是因为我们确实将各种代数（想到了十六元数）的元素称为“超复数”。但也许这更多的是由于从复数中抽象和概括而来的，因此这个术语一直存在。
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Wolfram MathWorld 条目开头是这样的：
“数”这个词是一个通用术语，指的是给定（可能有序）集合的成员。“数”的含义通常从上下文中可以清楚看出（即它是指复数、整数、实数等吗？）。本文尽可能使用“数”这个词来指整数量，而“常数”则保留用于具有固定值的非整数。然而，由于实数、伯努利数和无理数等术语通常用于指非整数量，因此在命名法上不可能完全一致。
想想看，我们现在也谈论（与 Nim 游戏有关的数字），Conway 和 Guy 使用字体的颜色变化来记录它们：在《数字之书》中，nimbers 被涂成红色：
参见哈姆金斯关于：
…多元宇宙观并不会破坏集合论作为数学的本体论基础的说法，因为人们期望在多元宇宙中的任何一个宇宙中找到所有熟悉的古典数学对象和结构，而是针对存在一个独特的绝对集合背景概念的说法，其集合论真理是不变的。
因此，如果集合没有绝对的定义（集合似乎可能先于数字）（或者：它们通常是数字应该“由其构成”），那么数字也没有绝对的定义。
在弗雷格的分析哲学中，我们有“：
弗雷格考虑过是否可以将 [休谟原则] 规定为数字的构成性定义——该定义将对其性质进行完整而准确的描述。但他的结论是，HP 无法满足这一更迫切但更合理的要求。原因就是现在众所周知的“尤利乌斯·凯撒问题”。弗雷格坚持认为（《基本原理》，§56），我们对数字的定义应该使我们能够确定尤利乌斯·凯撒不是一个数字。他的结论是 HP 无法让我们做到这一点。
因为，假设我们说如果篮子里恰好有两个苹果，那么篮子里苹果的数量就是 Julius Caesar。为了保持一致性，只需确保将相同的数字（即 Julius Caesar）分配给与概念“…是篮子里的苹果”一一对应的任何其他概念就足够了（符合 HP）。因此，例如，严格介于 4 和 8 之间的素数的数量是 Julius Caesar。事实上，严格介于 1 和 4 之间的素数的数量是 Julius Caesar，其中一个素数就是 Julius Caesar 本人！
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+1“因此，如果集合没有绝对的定义，而集合似乎可能先于数字（或者：它们通常是数字应该“由其构造”而成的），那么数字也没有绝对的定义。” 就像任何集合都可以有任意的理解一样？
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1@JD 这是其中的一部分，然后我们甚至可以改变“分析”公理，例如外延性。我发现了一些奇怪的理论，例如半集理论、具有无限幂集的有限集理论、拟集理论、模糊集理论、多重集理论、原始元素理论、此类真类理论、此类真类理论、类上集合体理论等。集合论是概念的翻腾海洋，其中的岛屿有时火山基座停止生长，有时仍在将这些岛屿推向更高的天空。
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1哦哦。你的意思是适用于被认可为“一套”的收藏品的实际内涵。嗯。这很有趣。我想知道是否有书本形式的调查。
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1我能找到最接近的。
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1另外，我们不仅仅拥有一个由不同的公理组成的多元宇宙来描述集合是什么。还有一个多元宇宙来描述 ∈ – 元素关系的含义。因此，即使有一组固定的公理，如果我们认为 ∈ 表示“超集”，那么我们就会得到一个非常不同的数字概念。
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你还有（等等）几个问题。我们来看看。
首先，你问：
但是为什么人们会将四元数、八元数甚至模算术环之类的东西视为“数字”呢？
你问：
数字与其他数学对象的区别究竟是什么？
最后你问：
它纯粹是文化的、历史的，还是还有其他什么？
让我们看看我们能做什么。
首先，在数学哲学中，存在现实主义和反现实主义的立场，前者的例子是，后者的例子可能是。因此，在回答问题之前，重要的是要注意到人们在看待世界的方式上有不同的基本框架。当然，这些都是我们在讨论中提出的形而上学的预设。然而，并不是所有的数学家都会思考这些想法，有些人只是为了做数学而做数学。
但许多从事数学研究的人都是为了应用于其他问题，他们会扩展概念和定义以适应这些目的。例如，如果人们认为牛顿是一个数字并且适合计算，那么人们就会突然发现瞬时变化率。当然，贝克莱对此提出了著名的反对。这在“0 是数字吗？”和“i 是数字吗？”等问题上也没有什么不同。在每种情况下，通过引入一类新数字，似乎都会产生一个完整的数学分支。因此，是一种对空间进行数学建模的尝试，如果人们关注历史，就会发现这是一项相当有利可图的智力冒险。爱因斯坦使用了闵可夫斯基的模型，然后就成功了！现在我们有了 GPS。
第二个问题更难回答，因为缺乏共识，但：
“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”（传统译法：“上帝创造了自然数；其他一切都是人类的工作”。）
因此，这里就有人认为，数字是一种有点任意的概念，而且争论数字的任何定义在哲学上都是有争议的。同样，现实主义者必须诉诸某种证据来证明“真实”数字具有某种独立于思想的存在，而反现实主义者则将数字视为某种构造。在这里，数学哲学真正开始发挥作用，因为不同的立场（经验主义、结构主义、新柏拉图主义）都有不同的框架。可以说，数学家似乎确实假设了一种普遍的本体论承诺，即数字是原始的，并且通过使用关系来它们和来转换它们，从而使句子变得合理。直观地说，数字是可以改变或涉及关于命题的真值主张的基本单位，当它们充当公理/假设和定理/引理/推论时，它们构成理论。
新数字往往只是吸收了以前的数字和附加在它们上面的理论。因此，人们不会只指着一些曲线就声称这是新数字！相反，计数数字被扩展为整体，然后是整数和实数等等。这就是克罗内克在他的引文中的意思。计数数字是所有数字的原型，数学家一直在稳步扩展它们构造方式的定义（或者如果他们是现实主义者，就会发现它们）。例如，当人们理解了四元数时，人们可以应用抽象代数并根据恒等式、结合性、传递性、交换性等来检查结构。
那么，数字是文化的和历史的吗？是的。但是它们的发展也有一个实用和技术方面。首先，它们必须或多或少地与以前的数字和理论保持连续性。其次，它们在它们所属的中扮演着特定的本体论角色。第三，它们必须在语言中充当原语。第四，它们必须对理论（无论是纯理论还是应用理论）有用。因此，对于什么可以充当数字，肯定存在经验和语言上的限制。一般来说，它们与数学语言处理的主题有关：数量、顺序、方向、形状等等。
最终，最好考虑一下目前接受的各种扩展有序概念的数字类别。毕竟，序列被定义为自然数的映射，而自然数在 PA 中用后继函数定义。我们可以用负整数来扩展它，使二维中的顺序无限。实数允许我们在任意两个数字之间为间隔提供无限但有序的序列。复数在四个方向上延伸无穷大。超限数允许我们对无穷大本身进行排序。但在每种情况下（我对建构主义的偏见变得明显），关键是数字提供了一系列方法来应用序列来构造一类有用的抽象对象。
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虚数可以被看作是描述围绕实数所描述的轴的旋转。
环理论让我们理解如何思考离散对称群，例如具有自身对称性的物体的旋转。离散对称群是变换下的的特殊情况，即。告诉我们守恒定律与陈述特定的连续对称性完全等价。这导致了物理学中的一般概念。
我认为由此可以明显看出，我们可以认为数轴并非神奇地将我们与柏拉图式的境界联系起来，而是从我们的主体间经验中产生的连续对称直觉。如果我们在相对平坦的时空中沿着看似相对平坦的地面以单位为单位移动一个物体，我们可以将我们的经验扩展为对实数轴的直觉，以算法方式到达其中可计算的部分，并定义数字交互的操作。向量是另一种直观的体验，具有自己的不同操作，例如不交换的操作。数学从主体间经验中产生的更多讨论在这里：
在这幅图中，数轴是我们对连续对称性经验的抽象。从这个意义上讲，一般对称群只有更多和更少，我们的直觉从根本上由空间平移塑造，但不仅仅是由空间平移塑造。
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在这里我会有点挑衅。
假设任何集合，我们都定义一些称为加法的运算。
是数字的集合。
矩阵？- 数字
有序对？- 数字
功能？- 数字
字符串？- 数字
序数？- 数字
那么为什么我们把某些东西称为数字，而把其他东西不称为呢？
这与我们为什么将某些运算称为加法有关。
但简而言之，如果我们将两件事相加……称它们为数字是有意义的。
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