Question

在 Jaynes 的《概率论：科学的逻辑》第 15.4 节中（pdf 在此处： http: ），他提出了以下翻滚四面体：

一个正四面体，其面分别标记为 e+（正电子）、e−（电子）、μ+（μ 子）、μ−（反μ 子），被反复抛掷。每次抛掷的结果都会被记录下来，但当记录中包含 e+ 后紧接着是 e−（或 e− 后紧接着是 e+，或 μ+ 后紧接着是 μ−，或 μ− 后紧接着是 μ+）时，这些粒子会相互湮灭，从而从记录中删除该对。在序列中的任意时刻，玩家（不知道迄今为止发生了什么）要求再抛一次，然后向玩家展示最终记录 x ∈ X ，之后玩家必须对命题 A ≡“最后一次抛掷时发生了湮灭”的真实性下注。他应该分配多少概率 P(A|x)？

乍一看，我认为概率 P(A|x) 应该是 1/4，因为无论记录 x 是什么，毁灭的概率只取决于最后 2 个结果，所以概率应该是 1/4，与投掷次数 n 无关。

然而，通过一些较长的推导（第 15.5 节），作者指出 P(A|x) 应该近似为 (n−y) / 2(n − 1)（当 n 很大时，其中 y 是记录 x 的长度）。虽然我能理解他的推导，但我不明白为什么 P(A|x) 会依赖于 n。

作者得出这一结果的方法是将这个问题转化为随机游走问题：每次，每一步当发生湮灭时（概率 = 1/4），x 的长度减少 1，否则增加 1。然后如上所述，设 y 为记录 x 的长度，他得出

从此，他得到了

有人能帮忙解释一下为什么这里的结果依赖于 n 吗？谢谢！

考虑抛掷的字符串，写下重复或单次出现的标记。然后你得到例如：dsddsssds。给定重复的数量 $n_{d} = (n - x) / 2$ n_d = (n-x)/2以及单身人士的数量 $n_{s} = x$ n_s = x，这些代币的分布是随机的，最后一次抛掷重复的概率是 $n_{d} / (n_{s} + n_{d}) = (n - x) / (n + x)$ n_d/(n_s+n_d) = (n-x)/(n+x)。这和你得到的结果不同，但也没有意义。如果 $x = 0$ x=0，一切都肯定会消失，那么为什么概率 $\frac{n}{2 (n - 1)} < 1$ \frac{n}{2(n-1)}<1? 这表明公式是错误的（或者我遗漏了什么？）。 —

Answer 1

Jaynes 说，如果你知道到目前为止投掷的次数是 $n$ n并且记录的长度是 $y$ y那么你就会知道 $\frac{n - y}{2}$ \frac{n-y}{2}湮没。

第一次抛掷没有导致毁灭，因为没有前一次抛掷，所以剩下的 $\frac{n - y}{2}$ \frac{n-y}{2}毁灭发生在 $n - 1$ n-1其他投掷，即平均 $\frac{n - y}{2 (n - 1)}$ \frac{n-y}{2(n-1)}每次可能的掷骰子都会导致毁灭性的后果，包括最后一次掷骰子。

所以知道 $n$ n和 $y$ y关于最后一掷的影响的信息很丰富，因此它们出现在（15.35）中。

如果你不知道的话，这没什么帮助 $n$ n尽管 $y$ y是实质性的，尽管例如知道 $y = 0$ y=0会让你相信，不管怎样，最后的决斗必定会导致毁灭 $n$ n是（并且还告诉你 $n$ n是均匀的）。但是 $\frac{n - 0}{2 (n - 1)} \neq 1$ \frac{n-0}{2(n-1)} \not = 1为了 $n > 2$ n>2，事实上 $\frac{n - y}{2 (n - 1)}$ \frac{n-y}{2(n-1)}并不是最终掷骰子导致全军覆没的确切概率，即使 $n$ n和 $y$ y具有相同的奇偶性；随机游动的反射会造成扭曲 $0$ 0。

我觉得 Jaynes 计算的是 P(A|y,n)，而不是 P(A|x)。虽然 y 是 x 的长度（意味着知道 x 意味着知道 y），但它们似乎不一样，我理解错了吗？ — 
@username123: Jaynes 的最终记录是 $x$ x其长度为 $y$ y. 在这里，通过可交换性， $y$ y（连同 $n$ n）就足够了，细节 $x$ x不添加超出其长度的有用信息。这意味着 $P (A ∣ x, n) = P (A ∣ y, n)$ P(A \mid x, n)=P(A \mid y, n)。我必须说，我并不喜欢杰恩斯和他的风格或论点，但这并不意味着他总是错的。 —

Answer 2

玩家看到的是最后一次掷球后的记录，而不是最后一次掷球的值。如果最后一次掷球导致全败，则最后一次掷球将不会记录在记录中。此外，玩家看到 $y$ y，不仅仅是 $n$ n。如果 $y$ y没有观察到答案就是 $1 / 4$ 1/4但当我们知道毁灭的总数时，我们就会有一些关于 $P (A)$ P(A)。

认为 $y = n$ y=n我们知道没有发生过灭绝事件，所以 $P (A)$ P(A)必须为零。如果 $y = n - 2$ y=n-2我们知道有一次失败，所以我们需要知道这是最后一次投掷的概率。这将是 $1 / n$ 1/n，公式给出 $1 / (n - 1)$ 1/(n-1). 在典型情况下， $y$ y将在附近 $n / 2$ n/2，自从 $1 / 4$ 1/4掷骰子会导致毁灭，每次掷骰子都会取出两条记录。然后公式给出 $1 / 4$ 1/4为了 $P (A)$ P(A)，正如预期的那样。

两者都不 $\frac{1}{4}$ \frac14也不 $\frac{n - y}{2 (n - 1)}$ \frac{n-y}{2(n-1)}是精确的，即使 $y = \frac{n}{2}$ y=\frac n2并且它们具有相同的奇偶性。例如， $P (A ∣ n = 8, y = 4) = \frac{21816}{4^{8}} \approx 0.3329$ P(A \mid n=8, y=4) = \frac{21816}{4^8} \approx 0.3329尽管 $\frac{n - y}{2 (n - 1)} = \frac{4}{14} \approx 0.2857$ \frac{n-y}{2(n-1)} = \frac{4}{14} \approx 0.2857和 $\frac{1}{4} = 0.25$ \frac14=0.25。 —

概率 – 为什么这个翻滚四面体的结果取决于 n？ – 交叉验证

最佳答案
2

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