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我不明白开普勒如何获得数据来制定第三定律。每个行星的轨道半径是如何确定的？

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    我并不是这方面的专家，但我相信他实际上只计算了火星的轨道。其他人只是假设遵循相同的定律，这在数学上是可行的。我没有在英语中看到很多关于他是如何完成工作的（几十年来），但这个视频系列是一个很好的开始：
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    相关：
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    HSM.SE 中有同样的讨论：
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最佳答案
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哥白尼估算了每颗行星的比例。开普勒要么使用这些数字，要么自己重新计算。

对于内行星（水星和金星），他使用了最大伸长角，即从地球上观察到的行星与太阳之间的最大角度。注意这形成了一个直角三角形，所以d= s i n ( θ )d=s我n（θ）d= sin(\theta)， 在哪里ddd是内行星的半径（以 AU 为单位，即地球轨道半径），θθ\theta为最大伸长角度。

对于其余行星，他测量了交点和冲点之间的时间。他知道地球和行星的恒星周期，估计这段时间内扫过的角度为αα\alpha和ββ\beta然后d= 1 / cos ( α − β​​）d=1/丙os（α−β）d = 1/ cos(\alpha-\beta)。以下是中的一张图，以便于理解：

哥白尼在估算行星半径方面做得相当出色（与上文来源相同）：

对我来说，开普勒观察中最有趣的部分是他意识到椭圆形比哥白尼使用的圆形更适合行星的轨道。

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    谢谢。这有助于我更好地理解。我尝试查找行星轨道半径的计算方法，但大多数搜索结果只是给出开普勒定律，而不是开普勒（或哥白尼）如何计算它们。
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    请注意，开普勒只发现了以地球与太阳之间的距离为单位的距离，而当时人们还不知道这一点。五十年后，卡西尼号发现了以长度为单位的距离。
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