Question

让 $A$ A是一个有限生成的交换环，即 $Z$ \mathbb{Z}-有限型代数。不难证明，如果 $A$ A是一个域，那么它一定是有限的。我对以下问题感兴趣：

有可能吗 $A$ A 包含无限场？

请注意，如果 $A$ A是一个整数域，那么 $A$ A是有限生成的；因此，它必须是有限的。因此，我们可以假设 $A$ A不是整数域。还要注意的是， $A$ A一般是有限生成的。

Accepted Answer

Martin Brandenburg 针对更具体的问题给出的 $A$ A不能包含无限字段。

每个商环 $A$ A也是有限生成的，所以如果 $A / I$ A/I是 $A$ A通过最大理想，那么 $A / I$ A/I是一个以环形式有限生成的场，因此是有限的。

如果 $A$ A包含一个无限的领域 $K$ K，然后限制为 $K$ K自然同态 $A \to A / I$ A\to A/I是环同态 $K \to A / I$ K\to A/I。但是不存在从无限域到有限域的同态。

抽象代数 – 有限生成环可以包含无限域吗？ – 数学

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