Question

艾伦坐在 $(0, 0)$ (0, 0) 芭芭拉坐在 $(4, 4)$ (4, 4) 每一分钟，艾伦都会以相同的概率向上或向右移动一个单位，除非他处于 $4 \times 4$ 4 \times 4 网格中心为 $(2, 2)$ (2, 2) ，在这种情况下，他会朝唯一可能的方向移动，使自己保持在射程内。芭芭拉的行为类似，但会向下或向左移动。两人在到达对角之前相遇的概率是多少？

我想找出艾伦和芭芭拉在对角线上每个点相遇的概率。例如，他们在 $(0, 4)$ (0,4)。我认为可能性是

1 （ 8 4 ） \times 1 （ 8 4 ）

\frac{1}{{8 \choose 4}} \times \frac{1}{{8 \choose 4}}因为有 $(\binom{8}{4})$ {8 \choose 4}艾伦和芭芭拉各自的路径总数，并且只有一条路可以到达 $(0, 4)$ (0,4)。然而，解决方案却说这个概率是

1 2 4 \times 1 2 4

\frac{1}{2^4} \times \frac{1}{2^4}对我来说这也说得通，但这与我的答案不同。有人能解释一下吗？

我已经看到了但这对我来说没有意义，因为我们知道艾伦和芭芭拉必须留在网格范围内。

我越想越觉得，给我的答案其实是错的，它解决了 Alan 和 Barbara 不受棋盘约束的情况。我认为如果他们受棋盘约束，我的答案就是正确的。但我不确定。

Accepted Answer

简而言之，你的错误在于假设所有 $(\binom{8}{4})$ \binom{8}{4}路径的概率相等。但事实并非如此。讽刺的是，这一事实恰恰源于两者被限制在平方的假设（您曾认为这是另一个解决方案错误的原因）。

例如，经过 $(4, 0)$ (4,0)对于艾伦来说，前四步必须向右走，每一步都是独立的，每一步的概率 $1 / 2$ 1/2（因为他每一步都可以向上走）。那么他的最后四步就必然向上。因此这条路径有概率 $1 / 2^{4}$ 1/2^4。

另一方面，交替右、上、右、上……的路径直到艾伦到达 $(4, 4)$ (4,4)在最后一步强制上升之前，有七步是随机的。这意味着这条路径有概率 $1 / 2^{7}$ 1/2^7是艾伦所利用的。

这些路径的可能性并不相等，因此我们无法通过简单地计算路径来找到概率。

这个问题的一个巧妙之处在于，它的解决方案看起来像是我们忽略了边界，因为两者必须在对角线上相交 $x + y = 4$ x+y=4，在此之前，艾伦和芭芭拉都不会与对方相遇。这意味着他们在相遇之前所做的每一步都有概率 $1 / 2$ 1/2（上/右或下/左）。

Answer 2

艾伦 $4$ 4在到达对角线之前，可以独立选择向上或向右 $x + y = 4$ x + y = 4，因此有 $2^{4}$ 2^4他可以采取的可能路径。如果我们让 $k$ k测量水平步骤的数量，这只是身份的重述

\sum k = 0 4 （ 4 钾) = 24 。

\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} = 2^4.

这些路径中有多少条最终到达了 $(0, 4)$ (0, 4)答案是毫无疑问的 $(\binom{4}{0}) = 1$ \binom{4}{0} = 1。因此，他有一个 $\frac{1}{2^{4}}$ \smash{\frac{1}{2^4}}到达对角线该点的概率。

根据对称性，Barb 从对角开始到达该点的概率相同。如果我们愿意，我们可以让 $k$ k表示她向下走的步数，这个论证完全类似。因此，他们在那个点相遇的概率是

1 （ 2 4 ） 2 = 1 2 8 = 1 256 。

\frac{1}{(2^4)^2} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}.

对于一般情况，对于任何 $0 \leq k \leq 4$ 0 \leq k \leq 4，到达对角线的概率 $(k, 4 - k)$ (k, 4 – k)是

1 2 4 （ 4 钾 ） ，

\frac{1}{2^4}\binom{4}{k},

所以它们都到达同一地点的概率是它的平方：

1 2 8 （ 4 钾 ） 2 。

\frac{1}{2^8}\binom{4}{k}^{\!2}.

这些概率是

钾 磷 （ 千 ） 0 1 256 1 16 256 2 三十六 256 3 16 256 4 1 256

\begin{array}{c|ccccc}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P(k) & \frac{1}{256} & \frac{16}{256} & \frac{36}{256} & \frac{16}{256} & \frac{1}{256}
\end{array}

+1 ：同样，答案很好。你也许还会提到（一般来说）
$\sum k = 0 n [（ n 钾） 2] = (2 n n ）。$
\sum_{k = 0}^n \left[ ~\binom{n}{k}^2 ~\right] = \binom{2n}{n}. 因此，计算可以简化为 $\frac{(\binom{8}{4})}{2^{8}} .$ ~\displaystyle \frac{\binom{8}{4}}{2^8}.
\endgroup

– —

Answer 3

坐标总和 $(x + y)$ (x+y)因为艾伦从 $0$ 0每一步都增加一；与此同时，芭芭拉的总数从 $8$ 8一。因此，它们只能在对角线上相遇，此时双方都有 $x + y = 4$ x+y=4。因此你只需要计算 $(0, 4), (1, 3), (2, 2)$ (0,4), (1,3), (2,2). 得益于对称概率 $(3, 1)$ (3,1)和 $(4, 0)$ (4,0)等于 $(1, 3)$ (1,3)和 $(0, 4)$ (0,4)其余所有点的概率为零 $A$ \text{A}和 $B$ \text{B}见面。

两人可以在任意一点相遇当且仅当两人都（独立地）选择一条通往该点的路径，因此在任意选定点相遇的概率 $X$ X是概率的乘积 $A$ \text{A}来到 $X$ X和 $B$ \text{B}来到 $X$ X。

如果你稍微倾斜一下图表，你可能会注意到从 $(0, 0)$ (0,0)以及来自 $(4, 4)$ (4,4)对角线的距离与帕斯卡三角形的距离相似——帕斯卡三角形的数字恰好是艾伦和芭芭拉可以到达网格各个点的路径的数量。

解决方案的其余部分只是无聊的算术。

\begingroup
谢谢@Bml，纠正了我所有的错别字。:)
\endgroup

– —

概率 – 在网格上会面

最佳答案
3

概率 – 在网格上会面

最佳答案 3

最佳答案
3