这是一个非常主观的问题,但我还是想问一下。
是否有人发表过被研究界“认真对待”的成果,但后来却因为“愚蠢的错误”而被发现是错误的?
请允许我(在某种程度上)澄清一下我的观点:
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我所说的“愚蠢错误”是指“任何被指出后社区中的专业人士会立即发现的错误”。错误被算作“愚蠢”的另一个要求是,它没有任何“数学趣味”或教育意义。例子包括算术错误、初等代数错误、意外使用一个公式代替另一个公式、错误地转录方程式或计算机代码中的“明显”错误。为了算数,错误应该能够非常简洁地描述。我想说“未能做出‘简单’的概念飞跃”通常不算数,尽管我承认所有这些都非常主观。
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“认真对待”肯定是相当含糊的,但我会说结果在研究界“引起了轰动”。足够的证据可以证明这一点,比如说,提出错误主张的论文被大量引用,或者大量后续论文依赖该主张,或者该领域的“主要人物”声明列出了由该主张引发的主要未解决的问题,等等。如果错误几乎立即被其他人指出,则不算数(尽管算作“几乎立即”也是含糊的)。基本上,我想知道的粗略门槛是,即使错误最终得到了纠正,它“也对研究过程造成了一些不小的损害,导致后续研究人员误入歧途”。
我并不是真的在寻找一篇提出巨大争议性主张的论文,大多数专家认为它可能是错误的,但花了一段时间才发现错误。我更想寻找一篇在发表时被广泛接受为正确的论文,在人们意识到这个主张是错误的之前,它“没有引起人们的注意”。
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评论中的人们已经指出了 Daniel Biss 的论点。但他还犯了另外两个不相关的错误,在我看来更有趣:
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在他的论文中,
D. Biss 和 B. Farb,钾克钾克\mathcal{K}_g不是有限生成的,Invent. Math. 163(1), 2006, 213-226。
Biss 和 Farb 声称证明了映射类群的所谓 Johnson 核子群不是有限生成的。当它被提出时,人们肯定非常重视它,并且它对其他类型的有限性结果产生了影响(例如,参见 Farb 的论文“映射类群和模空间的一些问题”中的讨论)。
这里的错误在于,他们给出了一种在曲面上构造一组曲线的算法,并声称它们是不相交的。后来,佐藤正敏(当时是东京大学的博士生)仔细地画出了这些曲线的图片,并证实它们不是不相交的。证明失败了。更妙的是,后来发现约翰逊核子群是有限生成的(如果社区没有被比斯-法布定理误导,这一点可能早就被发现了)。参见
M. Ershov & S. He,《论约翰逊过滤的有限性》,《Duke Math. J.》167,2018,1713-1759。
和
T. Church、M. Ershov 和 A. Putman,《论 Johnson 过滤的有限生成》,《J. Eur. Math. Soc. 24,2022,第 8 期,2875-2914》。
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在他的论文中
D. Biss,基本群的广义方法,美国数学月刊 107(2000),第 8 期,711-720。
和
D. Biss,拓扑基本群和广义覆盖空间,Topology Appl. 124(2002),第 3 期,355-371。
Biss 研究了没有通用覆盖的空间的基本群。他的主要定理指出,这些基本群具有自然拓扑,使它们成为拓扑群。这具有相当大的影响力,例如,它们是他获得摩根奖的作品的一部分,第二篇论文在谷歌学术上有 97 次引用。然而,他犯了一些基本的点集拓扑错误,使他的证明无效(与他其他论文中的错误完全不同!)。事实上,对于许多简单的例子,他定义的所谓“拓扑群结构”是不连续的。这一点在
P. Fabel,拓扑夏威夷耳环群不嵌入自由群的逆极限,Algebr. Geom. Topol. 5(2005),1585-1587。
关于历史的非常好的讨论,我推荐博客文章。
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单峰分布的卷积是单峰的这一说法出现在格涅登科 (Gnedenko) 和柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 所著的极具影响力的著作(1954 年出版的《独立随机变量和的极限分布》的俄文原版,1949 年出版)中,为§32 定理 3。
正如英文翻译附录 II 中所述,这一说法是错误的。附录中指出了这一说法的“证明”中有两个简单错误。在这两个错误中,至少第二个错误基于不正确的身份,似乎确实可以算作“愚蠢”。
这一主张和“证明”似乎源自拉宾 (Lapin),AI 的“论稳定定律的一些性质”。俄文论文,1947 年。
似乎该说法的第一个反例是由 Chung 在 1953 年给出的(参见 Dharmadhikari 和 Joag-dev 1987 年所著的《单峰性、凸性和应用》第 11 页)。
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希尔伯特问题 16,第二部分要求对 2 维多项式微分方程组的极限环数量进行上限估计。长期以来人们认为 Henri Dulac 在 1923 年证明了极限环数量是有限的。
Dulac 研究了极限环邻域中的庞加莱映射,并得到了它的无限渐近展开。这个推导占据了整整一本书(143 页)。然后他在最后得出结论:由于这个映射在(0 , δ](0,δ](0,\delta]并且具有无限渐近展开式x → 0十→0x\to 0,它只能有有限多个不动点,因此极限环的数量是有限的(环对应于庞加莱映射的不动点)。这是一个基本的错误,因为映射可以采用以下形式ϕ (x )= x + g(十)φ(十)=十+克(十)\phi(x)=x+g(x)在哪里克克g是平坦的(具有零渐近展开式),因此我们无法得出有关附近的不动点数量的结论000。
这个错误直到 20 世纪 80 年代才被发现(可能之前没人有耐心把杜拉克的书读到最后),从那时起,杜拉克定理的证明至少有两份发表,都非常冗长和复杂,我不知道其中任何一个的验证效果如何。
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1970 年,欧文·诺埃尔·贝克“证明”了一个复变量的超越函数最多可以有一个完全不变的正态性集分量。事实上,他“证明”了一个更一般的命题,即不可能有两个不相交的域,它们的原像相连。他的论文占了三页,并且包含一个基本错误(乍一看完全明显的几何陈述)。在 1970 年至 2018 年期间,贝克的论证在多篇论文中被使用。
2018年我尝试向Julien Duval解释Baker的论点,他无法理解,最后他发现这是不正确的。
同年,贝克定理的反例被构造出来,而关于完全不变域的原始问题仍然没有得到解决。
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我忍不住要提一个你感兴趣的数学以外的情况。摘自维基百科关于染色体的文章(粗体字是我的):
1923 年,西奥菲勒斯·佩因特公布了人类染色体的数量。通过显微镜观察,他数出24 对染色体,这意味着 48 条染色体。他的错误被其他人复制,直到 1956 年,印度尼西亚出生的细胞遗传学家乔·欣·乔才确定了真正的数字 46。
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同样,亚里士多德声称蜉蝣有 4 条腿,而不是 6 条(尽管究竟什么是“腿”,这一点有点模糊)。
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1879 年,阿尔弗雷德·肯普 (Alfred Kempe) 发表了四色猜想的“证明”。1880 年,彼得·格思里·泰特 (Peter Guthrie Tait) 发表了另一个“证明”。1890 年,珀西·希伍德 (Percy Heawood) 揭穿了肯普的证明,1891 年,朱利叶斯·彼得森 (Julius Petersen) 揭穿了泰特的证明。但我不确定这些错误算不算“愚蠢”。
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原贴作者给出了“愚蠢”的定义,至少在个人层面上可以测试一下。例如,在查看这些证明时,既然你知道它们是错误的,那么这些错误对你来说是否立即显而易见?我想人们还可以质疑研究界是否被这些虚假证明误导了——除了暂时抑制进一步证明的兴趣之外,它们是否塑造了未来研究的方向?(这些问题都不是反问的。)
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我不是生物学家*,但我相信肯普链是当今图着色证明的标准组成部分。我不知道它们是否来自肯普的无效证明,但如果它们来自,我会说无效证明不符合 tparker 对“愚蠢”错误的定义。*如果你知道,你就知道。
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好吧,有一件 Daniel Biss 的事情,以及他的“拓扑基本群和广义覆盖空间”(在实际使用其结果的论文中至少被引用了 3 次)。这篇论文的愚蠢错误是没有正确定义对象。对“覆盖”一词的模糊使用导致了一系列有趣的结果,所有这些都是可收缩性的必然结果年代1年代1S^1。
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王对格伦沃尔德“定理”找到的反例非常简单,也许这个例子符合条件?:
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@DenisT 有些人指出,Bliss 在读研究生时对他的定义似乎有些草率,但这些担忧却被最资深的人忽视了。
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@DavidRoberts:我第一次见到 Biss 时,他还是一名博士后,而我是一名研究生,所以我无法谈论他在读研究生时发生的事情。但他确实有一种傲慢,这种傲慢只有从小就被视为天才才会有。数学家有一种不幸的倾向,他们把某些类型的天才奉为天才,然后不加批判地对待他们(相反,他们把其他人奉为白痴,然后即使他们做得很好,也会对他们不屑一顾)。我们最好对自己识别人才的能力更加谦虚。
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谢谢,@Andy。我不得不说,我不能扔石头,因为我住在玻璃房子里,在读博士期间也和我的一位导师发表了一篇论文,后来这篇论文需要撤回(真实的故事更有趣,当时不可能做到……至少我不可能做到!)但我没有上过哈佛大学和麻省理工学院,我的论文甚至在我的专业领域也产生了巨大的影响。
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