Question

这是一个非常主观的问题，但我还是想问一下。

是否有人发表过被研究界“认真对待”的成果，但后来却因为“愚蠢的错误”而被发现是错误的？

请允许我（在某种程度上）澄清一下我的观点：

我所说的“愚蠢错误”是指“任何被指出后社区中的专业人士会立即发现的错误”。错误被算作“愚蠢”的另一个要求是，它没有任何“数学趣味”或教育意义。例子包括算术错误、初等代数错误、意外使用一个公式代替另一个公式、错误地转录方程式或计算机代码中的“明显”错误。为了算数，错误应该能够非常简洁地描述。我想说“未能做出‘简单’的概念飞跃”通常不算数，尽管我承认所有这些都非常主观。
“认真对待”肯定是相当含糊的，但我会说结果在研究界“引起了轰动”。足够的证据可以证明这一点，比如说，提出错误主张的论文被大量引用，或者大量后续论文依赖该主张，或者该领域的“主要人物”声明列出了由该主张引发的主要未解决的问题，等等。如果错误几乎立即被其他人指出，则不算数（尽管算作“几乎立即”也是含糊的）。基本上，我想知道的粗略门槛是，即使错误最终得到了纠正，它“也对研究过程造成了一些不小的损害，导致后续研究人员误入歧途”。

我并不是真的在寻找一篇提出巨大争议性主张的论文，大多数专家认为它可能是错误的，但花了一段时间才发现错误。我更想寻找一篇在发表时被广泛接受为正确的论文，在人们意识到这个主张是错误的之前，它“没有引起人们的注意”。

好吧，有一件 Daniel Biss 的事情，以及他的“拓扑基本群和广义覆盖空间”（在实际使用其结果的论文中至少被引用了 3 次）。这篇论文的愚蠢错误是没有正确定义对象。对“覆盖”一词的模糊使用导致了一系列有趣的结果，所有这些都是可收缩性的必然结果 $S^{1}$ S^1。 — 
王对格伦沃尔德“定理”找到的反例非常简单，也许这个例子符合条件？： — 
@DenisT 有些人指出，Bliss 在读研究生时对他的定义似乎有些草率，但这些担忧却被最资深的人忽视了。 — 
@DavidRoberts：我第一次见到 Biss 时，他还是一名博士后，而我是一名研究生，所以我无法谈论他在读研究生时发生的事情。但他确实有一种傲慢，这种傲慢只有从小就被视为天才才会有。数学家有一种不幸的倾向，他们把某些类型的天才奉为天才，然后不加批判地对待他们（相反，他们把其他人奉为白痴，然后即使他们做得很好，也会对他们不屑一顾）。我们最好对自己识别人才的能力更加谦虚。 — 
谢谢，@Andy。我不得不说，我不能扔石头，因为我住在玻璃房子里，在读博士期间也和我的一位导师发表了一篇论文，后来这篇论文需要撤回（真实的故事更有趣，当时不可能做到……至少我不可能做到！）但我没有上过哈佛大学和麻省理工学院，我的论文甚至在我的专业领域也产生了巨大的影响。 —

Answer 1

评论中的人们已经指出了 Daniel Biss 的论点。但他还犯了另外两个不相关的错误，在我看来更有趣：

在他的论文中，

D. Biss 和 B. Farb， $K_{g}$ \mathcal{K}_g不是有限生成的，Invent. Math. 163(1), 2006, 213-226。

Biss 和 Farb 声称证明了映射类群的所谓 Johnson 核子群不是有限生成的。当它被提出时，人们肯定非常重视它，并且它对其他类型的有限性结果产生了影响（例如，参见 Farb 的论文“映射类群和模空间的一些问题”中的讨论）。

这里的错误在于，他们给出了一种在曲面上构造一组曲线的算法，并声称它们是不相交的。后来，佐藤正敏（当时是东京大学的博士生）仔细地画出了这些曲线的图片，并证实它们不是不相交的。证明失败了。更妙的是，后来发现约翰逊核子群是有限生成的（如果社区没有被比斯-法布定理误导，这一点可能早就被发现了）。参见

M. Ershov & S. He，《论约翰逊过滤的有限性》，《Duke Math. J.》167，2018，1713-1759。

和

T. Church、M. Ershov 和 A. Putman，《论 Johnson 过滤的有限生成》，《J. Eur. Math. Soc. 24，2022，第 8 期，2875-2914》。
在他的论文中

D. Biss，基本群的广义方法，美国数学月刊 107（2000），第 8 期，711-720。

和

D. Biss，拓扑基本群和广义覆盖空间，Topology Appl. 124（2002），第 3 期，355-371。

Biss 研究了没有通用覆盖的空间的基本群。他的主要定理指出，这些基本群具有自然拓扑，使它们成为拓扑群。这具有相当大的影响力，例如，它们是他获得摩根奖的作品的一部分，第二篇论文在谷歌学术上有 97 次引用。然而，他犯了一些基本的点集拓扑错误，使他的证明无效（与他其他论文中的错误完全不同！）。事实上，对于许多简单的例子，他定义的所谓“拓扑群结构”是不连续的。这一点在

P. Fabel，拓扑夏威夷耳环群不嵌入自由群的逆极限，Algebr. Geom. Topol. 5（2005），1585-1587。

关于历史的非常好的讨论，我推荐博客文章。

Answer 2

单峰分布的卷积是单峰的这一说法出现在格涅登科 (Gnedenko) 和柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 所著的极具影响力的著作（1954 年出版的《独立随机变量和的极限分布》的俄文原版，1949 年出版）中，为§32 定理 3。

正如英文翻译附录 II 中所述，这一说法是错误的。附录中指出了这一说法的“证明”中有两个简单错误。在这两个错误中，至少第二个错误基于不正确的身份，似乎确实可以算作“愚蠢”。

这一主张和“证明”似乎源自拉宾 (Lapin)，AI 的“论稳定定律的一些性质”。俄文论文，1947 年。

似乎该说法的第一个反例是由 Chung 在 1953 年给出的（参见 Dharmadhikari 和 Joag-dev 1987 年所著的《单峰性、凸性和应用》第 11 页）。

Answer 3

希尔伯特问题 16，第二部分要求对 2 维多项式微分方程组的极限环数量进行上限估计。长期以来人们认为 Henri Dulac 在 1923 年证明了极限环数量是有限的。

Dulac 研究了极限环邻域中的庞加莱映射，并得到了它的无限渐近展开。这个推导占据了整整一本书（143 页）。然后他在最后得出结论：由于这个映射在 $(0, δ]$ (0,\delta]并且具有无限渐近展开式 $x \to 0$ x\to 0，它只能有有限多个不动点，因此极限环的数量是有限的（环对应于庞加莱映射的不动点）。这是一个基本的错误，因为映射可以采用以下形式 $ϕ (x) = x + g (x)$ \phi(x)=x+g(x)在哪里 $g$ g是平坦的（具有零渐近展开式），因此我们无法得出有关附近的不动点数量的结论 $0$ 0。

这个错误直到 20 世纪 80 年代才被发现（可能之前没人有耐心把杜拉克的书读到最后），从那时起，杜拉克定理的证明至少有两份发表，都非常冗长和复杂，我不知道其中任何一个的验证效果如何。

Answer 4

1970 年，欧文·诺埃尔·贝克“证明”了一个复变量的超越函数最多可以有一个完全不变的正态性集分量。事实上，他“证明”了一个更一般的命题，即不可能有两个不相交的域，它们的原像相连。他的论文占了三页，并且包含一个基本错误（乍一看完全明显的几何陈述）。在 1970 年至 2018 年期间，贝克的论证在多篇论文中被使用。

2018年我尝试向Julien Duval解释Baker的论点，他无法理解，最后他发现这是不正确的。

同年，贝克定理的反例被构造出来，而关于完全不变域的原始问题仍然没有得到解决。

Answer 5

我忍不住要提一个你感兴趣的数学以外的情况。摘自维基百科关于染色体的文章（粗体字是我的）：

1923 年，西奥菲勒斯·佩因特公布了人类染色体的数量。通过显微镜观察，他数出24 对染色体，这意味着 48 条染色体。他的错误被其他人复制，直到 1956 年，印度尼西亚出生的细胞遗传学家乔·欣·乔才确定了真正的数字 46。

同样，亚里士多德声称蜉蝣有 4 条腿，而不是 6 条（尽管究竟什么是“腿”，这一点有点模糊）。 —

Answer 6

1879 年，阿尔弗雷德·肯普 (Alfred Kempe) 发表了四色猜想的“证明”。1880 年，彼得·格思里·泰特 (Peter Guthrie Tait) 发表了另一个“证明”。1890 年，珀西·希伍德 (Percy Heawood) 揭穿了肯普的证明，1891 年，朱利叶斯·彼得森 (Julius Petersen) 揭穿了泰特的证明。但我不确定这些错误算不算“愚蠢”。

原贴作者给出了“愚蠢”的定义，至少在个人层面上可以测试一下。例如，在查看这些证明时，既然你知道它们是错误的，那么这些错误对你来说是否立即显而易见？我想人们还可以质疑研究界是否被这些虚假证明误导了——除了暂时抑制进一步证明的兴趣之外，它们是否塑造了未来研究的方向？（这些问题都不是反问的。） — 
我不是生物学家*，但我相信肯普链是当今图着色证明的标准组成部分。我不知道它们是否来自肯普的无效证明，但如果它们来自，我会说无效证明不符合 tparker 对“愚蠢”错误的定义。*如果你知道，你就知道。 —

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