Question

让 $S$ S是一个集合和 ka 字段。注入 $S \to k A l g (k^{S}, k)$ S \to k\mathrm{Alg}(k^S, k)（将一个点发送到其中的评估）是双射当且仅当 $S$ S是一个不可测基数（例如，请参阅，了解这一经典事实）。在这方面，假设没有可测基数 (NMC) 可能很方便。但使用这样的事实也常常很方便：对于每个基数，都有一个更大的不可接近基数。这也称为格罗滕迪克宇宙公理 (GU)。

ZFC+GU 的一致性是否意味着 ZFC+GU+NMC 的一致性？如果不是，那么关于第二个理论的一致性我们知道什么？

也许我们可以将 ZFC+GU 中的最小可测基数作为所需模型（就像我们在普通 ZFC 中所做的那样）？

事实上，Theo Johnson-Freyd 在他的阐述结束时提到了我的问题，他说“也许你仍然可以毫无顾忌地禁止可测量基数”。所以这个问题致力于完善这个猜测。

我只是好奇：为什么 NMC 假设是“方便”的？作为集合论者，大基数大多是好的假设，而不太强的大基数的反大基数公理看起来很奇怪。 — 
Hanul 有时在一般拓扑中很方便。例如，NMC 意味着“每个度量空间都是实紧的”。您偶尔会在文献中遇到以这种方式表述的结果。 —

Accepted Answer

认为 $M ⊨ Z F C + G U$ M\models\mathsf{ZFC+GU}。如果 $M$ M也满足 $N M C$ \mathsf{NMC}，那么我们就完成了。否则，让 $κ$ \kappa是（什么） $M$ M认为是）最小的可测基数。那么，由于可测基数是不可接近基数的极限， $(V_{κ})^{M} ⊨ Z F C + G U + N M C$ (V_\kappa)^M\models\mathsf{ZFC+GU+NMC}是的， $Z F C + G U$ \mathsf{ZFC+GU}意味着一致性 $Z F C + G U + N M C$ \mathsf{ZFC+GU+NMC}。

（这也利用了在给定点“切断”累积层次结构会保留不可访问性这一事实：如果 $λ$ \lambda无法访问 $M$ M和 $λ < κ$ \lambda<\kappa然后 $λ$ \lambda无法访问 $(V_{κ})^{M}$ (V_\kappa)^M。

为什么 $(V_{κ})^{M}$ (V_{\kappa})^M证明 $G U$ GU?也就是说，让 $λ < κ$ \lambda < \kappa.为什么我们可以找到大于 $λ$ \lambda并且严格小于 $κ$ \kappa？ — 
因为可测基数是不可接近基数的极限，并且如果 $λ < λ^{'} < κ$ \lambda<\lambda'<\kappa无法访问 $M$ M，然后 $λ^{'}$ \lambda’无法访问 $(V_{κ})^{M}$ (V_\kappa)^M。 — 
啊，第二次阅读时我明白了“可测基数是不可测基数的极限”的意思，谢谢！ —

ag.algebraic geometry – 具有不可访问基数但没有可测基数的 ZFC 的一致性 – MathOverflow

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ag.algebraic geometry – 具有不可访问基数但没有可测基数的 ZFC 的一致性 – MathOverflow

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