从历史上看，逻辑和数学是两个独立的学科，彼此之间关系不大。除了欧几里得，很少有数学家关心公理。有些学者既擅长逻辑又擅长数学，其中一些人看到了两者之间的联系。例如，莱布尼茨对逻辑的态度相当现代，他认为有可能设计一种用于语言的微积分，它对逻辑的作用与数学对算术和几何的作用相同。

可以说，这个想法在 19 世纪随着弗雷格和皮尔斯以及量词逻辑的发展而得以实现。在 20 世纪之交，非欧几里得几何和罗素悖论在数学认识论中引发了一场危机。弗雷格和罗素提出通过展示如何将数学归结为逻辑来为数学奠定坚实的基础。这个项目被称为逻辑主义。因此，逻辑是基础，数学在公理上建立在逻辑之上。

但并非所有人都同意这一观点。直觉主义的创始人布劳威尔认为数学是基础，逻辑对数学家来说并不重要。其他直觉主义者，海廷和克莱尼，发展了一种独特的直觉主义逻辑，与弗雷格和罗素的古典逻辑不同。

人们普遍认为，哥德尔的不完备性结果给逻辑学家的计划带来了巨大漏洞。有些新逻辑学家捍卫一种弱化的观点，即数学完全建立在逻辑之上，但这已不再是一种流行的观点。此外，罗素提议依赖的一些公理，如可约性公理和无穷性公理，很难证明其合理性。

如今，直觉主义也属于少数派。一些数学家是柏拉图主义者，另一些是形式主义者，还有其他选择。能够将数学理论表达为公理系统固然很好，但对于将其视为数学而言，这几乎不是必需的。哥德尔定理表明，使用公理系统可以实现的目标存在根本限制。

结果是，逻辑和数学是分开的，但又相互关联。数学方法可用于研究逻辑系统，并对其属性做出有趣的解释。逻辑可用于研究数学的基础。你认为哪个是基础，这更像是一个视角问题。

几点：

• “公理”的概念在我们现在所说的“逻辑”中肯定有一个定义，但作为一个概念，前者早于后者。：

不同研究领域的确切定义各不相同。在古典哲学中，公理是一种显而易见或确立已久的陈述，人们毫无争议或质疑地接受它。在现代逻辑中，公理是推理的前提或起点。

因此，我们不需要“逻辑”来拥有“公理”的概念。

• 策梅洛集合论创建于 1908 年。（请注意，ZF(C)本身并不能为我们提供数学基础；它通常与一阶逻辑 (FOL) 配对使用。）在此之前，数学的基础是什么？有人可能会说是欧几里得的《几何原本》，但那主要是关于几何的，当然不存在于巴比伦数学中。我认为，在历史的大部分时间里，数学都是建立在关于物理关系的经验数据抽象之上的，从简单的计数到微积分（这也早于 FOL 的建立）。

• John Baez 的一些相关引言：

我希望数学界已经意识到，我们真正需要的不是一个数学基础，而是多个数学基础，以及它们之间清晰描述的关系。事实上，在这一点上，“基础”这个词可能不如其他词有用……比如“入口”。

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[我]主要的观点是人们应该尝试各种各样的基础，看看会发生什么。

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以及 Andrej Bauer：

任何试图将数学纳入单一基础范围的尝试都必然会以不可接受的方式限制数学。一个只坚持一个数学世界的数学家（可能是因为他的教育背景）有点像一个只懂欧几里得几何的几何学家。这同样适用于古典数学家，他们不愿意放弃他们宝贵的排中律，也适用于毕晓普式的数学家，他们追求不反对任何人的崇高事业。

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• 最后，作为提供“逻辑”的数学系统的另一个例子，还有类型理论，正如迈克·舒尔曼 (Mike Shulman) 在一篇文章中所描述的那样：

类型理论并非建立在一阶逻辑之上；它不需要在我们开始陈述公理之前建立起联结词、量词和推理的强大上层结构。当然，类型理论具有一阶逻辑，这是进行数学运算的必需品。但类型理论中的一阶逻辑只是类型形成规则的一个特例。命题只是一种特定类型；证明它就是展示该类型的元素。当应用于命题类型时，笛卡尔积、不相交并集和函数类型的类型形成操作会简化为逻辑联结词、分离和蕴涵；量词同样来自依赖和和乘积。因此，类型理论不是建立在相同“子基础”上的集合论的替代品；相反，它重新挖掘了这些子基础并将其纳入基础理论本身。因此，它不仅比任何一种集合论都更忠实于数学实践，而且实际上也更简单。

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数学依赖于逻辑，因为我们就严格论证或证明的标准达成了共识。事实上，从历史上看，数学比其他科学更能从一套非常精确一致的基本原则（“逻辑基础”）中获益，并且同意所有证明都应该从这些原则中得到证明。并非每个人都必须同意完全相同的原则——例如，有些人自由地假设选择公理，而其他人则倾向于避免它；有些人喜欢集合论，其他人则喜欢类型论——但通过在每种情况下都非常精确地阐明它们，我们可以根据需要在它们之间来回转换，并且仍然可以富有成效地合作。

但是，一旦这些原则被如此精确地阐述出来，我们就可以用现代数学的所有工具和思想来研究它们。这既涉及一些非常具体的方法（逻辑作为形式语法、字母表中的符号串等），也涉及其他更抽象的方法（例如，正如你提到的范畴逻辑）。但这并不具有循环性，就像算术教科书中的页码不会具有循环性一样。我们使用逻辑来做数学；我们也在数学中研究逻辑（的理想模型）。

我们的数学研究可以告诉我们逻辑如何运作——就像算术定理告诉我们普通计数数字如何运作一样——我们选择使用逻辑的方式（例如采用哪些基础公理/理论/系统）可能会受到我们从数学研究中学到的东西的影响和澄清。但使用逻辑并不“依赖”数学，从某种意义上说，逻辑不需要数学来证明，就像你不需要算术定理来证明数鸡蛋一样。

因此总的来说，数学在很大程度上依赖于逻辑的使用——但它并不依赖于对逻辑的数学研究，所以不存在循环，而只是从后者到前者的富有成效的反馈循环。

因为您的帖子没有以特定的意义定义“逻辑”和“数学”，所以我从口语意义上理解这两个术语。

1. 那么答案是：是的，逻辑先于数学，因为数学以逻辑思维为前提。
2. 在古希腊语中，关于命题、真与假以及逻辑蕴涵和三段论的概念的最早明确思想与数学中关于初等数论和几何的最早证明大约在同一时期出现。

如今，这两个学科都已经成熟了两种不同的公理化形式理论，并拥有许多不同的变体。

“先于”这个表述可以用作历史意义。或者它可以表示第一步必须先于第二步。

如果逻辑和数学独立于试图掌握它们的智能而存在，那么可能会有一些从第一原理中衍生出来的事物来为事物定下秩序。实际上，事情对我们来说发生得更缓慢、更模糊。对于我们个人和整个人类来说，我们逐渐完善对逻辑和数学的理解。我们可能觉得整数数学或形式逻辑的规则“一直存在”，但我们在这些领域的成功很大程度上建立在能够以某种形式的方式写下我们的假设和推论的基础上，以便其他人能够理解和同意（或不同意）。我们所理解的逻辑和数学可能一起从迷雾中浮现出来。

二十世纪，哲学从纯粹的思想思考转向分析语言和表达机制，使我们能够分享和验证我们的观点。如果我们遇到外星人，我们会预料到他们会有不同的符号，但他们的逻辑和数学基本思想应该是相同的。

19 世纪，尿素的合成表明所有生命可能都是化学的。我们还没有从零开始创造整个生命形式，但我们认为没有什么障碍可以阻止我们接近这一点。我们早期的人工智能实验表明，所有智能都是计算。随着时间的推移，我们可能能够证明许多类型的智能对逻辑和数学有共同的理解。这并不能表明我们的理解是完整的，但很难知道我们可以期待什么更好的理解。