我一直在尝试理解如何用数学解释统计力学的一些结果，尤其是关于某些分布（如吉布斯分布）的结果。如果我们能推导出与物理现象相关的 SDE，使得吉布斯分布是其极限分布，那就太理想了。我认为这使吉布斯测度看起来更“自然”。我之前曾在 MO 上问过一个相关问题：。

因此，当我最近在 MSE 上发现这个问题时，我非常兴奋：？

MSE 问题说：

我尝试获取平稳分布

π=埃−H​（十）dx / Zπ=埃−赫（十）d十/是

\pi=e^{-H(x)}dx/Z和
是= ∫埃−H​（十）d十是=∫埃−赫（十）d十Z=\int e^{-H(x)}dx对于以下 SDE，称为 Gibbs 测度：

d十吨= − ∇ H（十吨）d吨+2–√d乙吨，十0= x ，d十吨=−∇赫（十吨）d吨+2d乙吨，十0=十，

\begin{equation}\label{eq:ld}
dX_t=-\nabla H(X_t)dt+\sqrt{2}dB_t, \, X_0=x, \end{equation}在哪里赫（吨）赫（吨）H(t)是潜在函数RnRnR^n。

让磷吨磷吨P_t是半群十吨十吨X_t那是
磷吨f（x ）= E[韓（十吨）|十0= x ]磷吨f（十）=埃[f（十吨）|十0=十]P_tf(x)=E[f(X_t)|X_0=x]为了t > 0吨>0t>0和平滑函数fff。

如何验证这个吉布斯测度是关于半群的平稳分布磷吨磷吨P_t? 这意味着对于任何平滑函数
fff

π（磷吨f) = π（f) = ∫fdππ（磷吨f）=π（f）=∫fdπ

\pi(P_t f)=\pi(f)=\int f d\pi

我觉得这个问题很有趣，因为它与我关心的许多主题相符：涉及能量函数的 SDE赫（十）赫（十）H(x)，其中吉布斯分布为平稳分布。然而，这个问题两年多来一直没有答案。

以下是我特别关心的问题：

1. 这个结论正确吗？我觉得这很自然。我觉得噪声项，以及常数2–√2\sqrt{2}，必须与系数相关赫（十）赫（十）H(x)在吉布斯分布的指数中。换句话说，噪声的大小决定了吉布斯分布的“温度”。

2. 虽然方程涉及能量函数赫（十）赫（十）H(x)，它是一个梯度流，而不是哈密顿方程，后者在物理系统中更常见。我很好奇是否还有其他形式的 SDE 也以吉布斯分布作为其平稳分布。有没有专门讨论这些类型方程的 SDE 教科书？

3. 同样，我想知道这个特定的 SDE 是否具有任何特殊的意义或应用。什么类型的模型可以用这个方程来描述，特别是在统计力学的背景下？例如，我们可以通过近似具有大量粒子的系统的哈密顿运动方程来推导这样的 SDE 吗？获得吉布斯分布的另一种方法是通过玻尔兹曼方程，但我一直在努力完全理解玻尔兹曼方程的推导。该推导和这个 SDE 之间是否存在联系？