Question

回想一下，概率测度的耦合 $μ_{i}$ \mu_i是一组随机变量 $X_{i}$ X_i定义在同一个概率空间上 $Ω$ \Omega使得 $X_{i} \sim μ_{i}$ X_i \sim \mu_i。

问题：让 $μ_{1}, \dots, μ_{n}$ \mu_1, \dots, \mu_n全部统一 $[0, 1]$ [0, 1]. 什么耦合能最大化本质最小值

我 n ： = 埃辛夫 ω \in Ω （ 十 1 (ω) + \dots + 十 n （ ω ） ）

I_n := \text{essinf}_{\omega \in \Omega} (X_1 (\omega) + \dots + X_n (\omega))

实现的价值是多少？

具体来说，如果我们让 $I_{n}^{*}$ I^*_n是最优值，我想知道序列 $\frac{1}{n} I_{n}^{*}$ \frac{1}{n}I^*_n表现出任何类型可预测的行为。

Accepted Answer

让我通过以下示例来完成 Iosif Pinelis 的回答： $n = 3$ n=3（事实上，类似的结构本身似乎适用于所有 $n$ n）。

如果 $X_{1} < 1 / 2$ X_1<1/2，放 $X_{2} = 1 - 2 X_{1}$ X_2=1-2X_1和 $X_{3} = 1 / 2 + X_{1}$ X_3=1/2+X_1。

如果 $X_{1} \geq 1 / 2$ X_1\geq 1/2，放 $X_{2} = 2 - 2 X_{1}$ X_2=2-2X_1和 $X_{3} = X_{1} - 1 / 2$ X_3=X_1-1/2。

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很好，很简单！关于一般 $n$ n在这种情况下，你可能可以正确地推广这种构造，但本质最小值也可以通过将所有剩余对耦合在一起形成确定性随机变量来获得，这些变量总是加在一起 $1$ 1，正如 Iosif 所提到的。
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是的，这就是为什么我只写这个案例。
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非常好！你能透露一下你是如何想出这个解决方案的吗？
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@IosifPinelis 我刚刚找到了当变量均匀分布时所需的耦合 ${0, 1, \dots, d}$ \{0,1,\dots,d\}；那么就很容易找到连续的类似物。
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也许，这只是分区的一个简单版本 ${0, 1, \dots, d}$ \{0,1,\dots,d\}分解成三元组，总和相同（对于合适的 $d$ d) 我以前就熟悉了。我想我不能再补充更多了……
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Answer 2

注意

我 * n \leqE ​ （ 十 1 + \dots + 十 n ） = n / 2。

I_n^*\le E(X_1+\cdots+X_n)=n/2.
这个上限 $n / 2$ n/2在 $I_{n}^{*}$ I_n^*如果实现 $n = 2 m$ n=2m是偶数且 $X_{2 i} = 1 - X_{2 i - 1}$ X_{2i}=1-X_{2i-1}为了 $i = 1, \dots, m$ i=1,\dots,m。

所以，

我 * n = n / 2

I_n^*=n/2
甚至 $n$ n。

由此可见

（ n - 1 ） / 2 = 我 * n - 1 \leq 我 * n \leq n / 2

(n-1)/2=I_{n-1}^*\le I_n^*\le n/2
为奇数 $n$ n。

所以，

我 * n \simn / 2 ​

I_n^*\sim n/2
为了 $N ∋ n \to \infty$ \Bbb N\ni n\to\infty。

推测： $I_{n}^{*} = n / 2$ I_n^*=n/2对于所有天然 $n \geq 2$ n\ge2。

注释1：显然， $I_{1}^{*} = 0$ I_1^*=0鉴于上述情况，足以证明 $I_{n}^{*} = n / 2$ I_n^*=n/2对于所有奇数 $n \geq 3$ n\ge3。此外，鉴于上述取消，足以证明 $I_{3}^{*} = 3 / 2$ I_3^*=3/2。

像往常一样非常巧妙，唯一剩下的问题是奇数的精确最优配置是什么 $n$ n。 — 
@NateRiver：这里的奇数情况可能比偶数情况困难得多，这难道不奇怪吗？ — 
确实很奇怪@Iosif Pinelis。我猜偶数会抵消，而奇数则不太清楚该把额外的人放在哪里…… —

pr.probability – 哪种均匀随机变量的耦合可以最大化和的本质最小值？ – MathOverflow

最佳答案
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最佳答案 2

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