回想一下,概率测度的耦合μ我μ我\mu_i是一组随机变量十我十我X_i定义在同一个概率空间上ΩΩ\Omega使得十我∼μ我十我∼μ我X_i \sim \mu_i。
问题:让μ1,… ,μnμ1,…,μn\mu_1, \dots, \mu_n全部统一[ 0 , 1 ][0,1][0, 1]. 什么耦合能最大化本质最小值
I_n := \text{essinf}_{\omega \in \Omega} (X_1 (\omega) + \dots + X_n (\omega))
实现的价值是多少?
具体来说,如果我们让我∗n我n∗I^*_n是最优值,我想知道序列1n我∗n1n我n∗\frac{1}{n}I^*_n表现出任何类型可预测的行为。
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最佳答案
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让我通过以下示例来完成 Iosif Pinelis 的回答:n = 3n=3n=3(事实上,类似的结构本身似乎适用于所有nnn)。
如果十1< 1 / 2十1<1/2X_1<1/2, 放十2= 1 − 2十1十2=1−2十1X_2=1-2X_1和十3= 1 / 2 +十1十3=1/2+十1X_3=1/2+X_1。
如果十1≥ 1 / 2十1≥1/2X_1\geq 1/2, 放十2= 2 − 2十1十2=2−2十1X_2=2-2X_1和十3=十1− 1 / 2十3=十1−1/2X_3=X_1-1/2。
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很好,很简单!关于一般nnn在这种情况下,你可能可以正确地推广这种构造,但本质最小值也可以通过将所有剩余对耦合在一起形成确定性随机变量来获得,这些变量总是加在一起111,正如 Iosif 所提到的。
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是的,这就是为什么我只写这个案例。
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非常好!你能透露一下你是如何想出这个解决方案的吗?
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@IosifPinelis 我刚刚找到了当变量均匀分布时所需的耦合{ 0 , 1 , … , d}{0,1,…,d}\{0,1,\dots,d\};那么就很容易找到连续的类似物。
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也许,这只是分区的一个简单版本{ 0 , 1 , … , d}{0,1,…,d}\{0,1,\dots,d\}分解成三元组,总和相同(对于合适的ddd) 我以前就熟悉了。我想我不能再补充更多了……
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注意
I_n^*\le E(X_1+\cdots+X_n)=n/2.
这个上限否/ 2n/2n/2在我∗n我n∗I_n^*如果实现n = 2米n=2米n=2m是偶数且十2我= 1 −十2我− 1十2我=1−十2我−1X_{2i}=1-X_{2i-1}为了i = 1 , … , m我=1,…,米i=1,\dots,m。
所以,
I_n^*=n/2
甚至nnn。
由此可见
(n-1)/2=I_{n-1}^*\le I_n^*\le n/2
为奇数nnn。
所以,
I_n^*\sim n/2
为了N ∋n→∞否∋n→∞\Bbb N\ni n\to\infty。
推测: 我∗n= n / 2我n∗=n/2I_n^*=n/2对于所有天然n≥2n≥2n\ge2。
注释1:显然,我∗1= 0我1∗=0I_1^*=0鉴于上述情况,足以证明我∗n= n / 2我n∗=n/2I_n^*=n/2对于所有奇数n≥3n≥3n\ge3。此外,鉴于上述取消,足以证明我∗3= 3 / 2我3∗=3/2I_3^*=3/2。
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像往常一样非常巧妙,唯一剩下的问题是奇数的精确最优配置是什么nnn。
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@NateRiver:这里的奇数情况可能比偶数情况困难得多,这难道不奇怪吗?
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确实很奇怪@Iosif Pinelis。我猜偶数会抵消,而奇数则不太清楚该把额外的人放在哪里……
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